Etwa ein Indikator für die visuelle Beurteilung schnell wachsender Funktionen

Für viele Epidemiemodelle - SIR, SEIR und dergleichen (Einzelheiten zur mathematischen Beschreibung siehe beispielsweise www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html ) gilt die folgende Aussage: Im Anfangsstadium der Epidemie, wenn die Anzahl der infizierten Personen (I. ) ist viel kleiner als die Bevölkerungszahl, die Wachstumsrate der Fallzahl ist proportional zur Fallzahl:

$$$∂I/∂t=βI$wobei β der Koeffizient ist, der die Infektionsrate charakterisiert.

Die Lösung dieser Gleichung ist eine Exponentialfunktion. Für Exponentialfunktion$$$f(t)=a^t$ Die folgende Funktionsgleichung gilt:

$$

$$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$$

ZU. Nummer$$$log_a⁡2$ ist die Verdopplungsperiode für eine Funktion $$$f(t)=a^t$. Per Definition ist die Funktion exponentiell, wenn die Verdopplungsperiode für eine glatte, nicht abnehmende Funktion konstant ist.

Wie viele andere in dieser interessanten Zeit verfolge ich die Wachstumsraten der Inzidenzrate, die beispielsweise auf der Website veröffentlicht wurden .

Seit geraumer Zeit ähneln die Grafiken einem Bumerang oder einem Hockeyschläger:


Abbildung 1

Dieselben Grafiken auf einer logarithmischen Skala geben ein wenig mehr Informationen:


Abbildung 2

Es ist ersichtlich, dass die Wachstumsraten tendenziell langsamer werden, da die Steigung des Logarithmus von der entsprechenden Funktion abnimmt, aber alle Unzufriedenheit besteht jedoch darin, dass nicht verstanden wurde, wie wirksam die Maßnahmen zur Eindämmung der Epidemie sind.

Reale Dynamik der Anzahl der Infizierten auch unter Bedingungen der Anwendbarkeit der Approximation $$$∂I/∂t=βI$unterscheidet sich von exponentiell, was in erster Linie auf Maßnahmen zur Eindämmung der Epidemie zurückzuführen ist, die dazu führen, dass $$$β$hört auf, eine Konstante und wird zu einer abnehmenden (wenn wirksamen Maßnahmen, um von natürlich ) Funktion der Zeit.

In Verbindung mit dem Vorstehenden wird vorgeschlagen, eine Verdopplungsperiode als Indikator für die visuelle Bewertung von Funktionen zu verwenden, die der indikativen ähnlich sind. Im allgemeinen Fall für eine monoton ansteigende Funktion$$$f(t)$ Verdopplungszeitraum $$$D(t)$kann aus der folgenden Funktionsgleichung bestimmt werden:

$$

$$f(t+D(t))=2f(t)$$

Unterschied $$$D(t)$von konstant gibt den Unterschied an $$$f(t)$vom Aussteller. In Bezug auf die Dynamik der Inzidenzraten Wachstum$$$D(t)$(idealerweise - bis unendlich) zeigt die Wirksamkeit der Maßnahmen zur Eindämmung der Epidemie an.

Bei Funktionen, die in tabellarischer Form auf einer diskreten Menge definiert sind, beispielsweise in Form einer Tabelle der Abhängigkeit der Anzahl der Fälle vom Datum, besteht eine Willkür in der Definition$$$D(t)$. Als einfachster Weg zu bestimmen$$$D(t)$wir können Folgendes vorschlagen:

Sei t∈ {0; 1; ...; N} eine diskrete Zeit, I (t) ist die Anzahl der Fälle in Abhängigkeit von der Zeit t. Dann ist es



auch möglich, die "pessimistische" Verdopplungsperiode zu bestimmen.



"Pessimismus" ist in diesem Fall auf die Tatsache zurückzuführen, dass der Vergleich von I (t) immer mit I (o) durchgeführt wird, d.h. mit einer "niedrigen" per Definition Basis. Aber gehen wir davon aus, dass sich die Situation im Laufe der Zeit verbessern sollte? Für Optimisten gibt es eine Definition:



Gemäß den obigen Definitionen



Im Folgenden finden Sie Beispiele für die Verwendung des obigen Indikators:


Abbildung 3


Abbildung 4

Daten zu Spanien, in der Presse als Beispiel für Kopfschmerzen beschrieben


Abbildung 5

Trotz des offensichtlichen Schwindelgefühls in der Anfangsphase sieht Spanien immer noch hoffnungslos aus.

Und abschließend - einheimische Penate.


Abbildung 6 Es ist

beruhigend, dass in Rospotrebnadzor die Wachstumsrate der Inzidenz von COVID-19 in der Russischen Föderation als langsam angesehen wurde .

Die Datei mit den Quelldaten, Formeln und Grafiken kann hier aufgenommen werden.

Hausaufgaben:

1. Entscheiden Sie sich für$$$D(t)$ Die gleichung $$$f(t+D(t))=2f(t)$für die folgenden Funktionen

$$$f(t)=t^t$
$$$f(t)=Γ(t)$wo $$$Γ(t)$- Gammafunktion
$$$f(t)=t^n$
$$$f(t)=ln⁡(t)$
Auch für $$$f(t)=ln⁡(t)$löse die Gleichung $$$f(t+D(t))=mf(t)$

2. Beantworten Sie die Frage: Wie hängen die definierte Verdopplungsperiode der Funktion und die logarithmische Ableitung der Funktion zusammen?

Ich bitte die Leser, innerhalb einer Woche keine Entscheidungen in den Kommentaren zu veröffentlichen.