Wir werden über das Sandhaufenmodell sprechen. Sand (nicht real, Modell), der übergießt, erzeugt diese Bilder:
Sandhaufen können hinzugefügt (dies ist einfach, wenn Sie es gewohnt sind, alle möglichen Dinge zu falten) und subtrahiert (aber dies ist bereits nicht trivial).Sie können dieses Ding auch als Hallo-Welt anstelle des Life-Spiels verwenden.Sandhaufen
Nehmen Sie ein quadratisches kariertes Feld. In jeder Zelle dieses Feldes können Sandkörner liegen. Zum Beispiel könnte es so aussehen:
Fügen Sie nun ein Sandkorn zu der Zelle hinzu, in der es drei davon gibt:
Und jetzt ist Aufmerksamkeit die wichtigste Regel:Befinden sich vier Sandkörner in der Zelle, werden sie auf vier benachbarte Zellen verteilt.
Wie sie sagen, gibt es einen Zusammenbruch (Sturz). So:
Eine sehr natürliche Regel. Obwohl es überhaupt nicht nach Sand aussieht, folgt es eher der Regel "Nicht länger als drei zusammenkommen": Wenn vier Personen in einem Käfig zusammenkommen, zerstreuen sie sich in verschiedene Richtungen.Auf diese Weise kann eine Kaskade von Erdrutschen auftreten - wenn ein Sandhaufen aufgeschüttet wird, kollabiert er, bis instabile Zellen mit 4 oder mehr Sandkörnern vorhanden sind, dh bis ein stabiler Sandhaufen erhalten wird :
Dies ähnelt bereits dem Mechanismus von Krankheitsausbrüchen bei der Pandemie ", Wenn auch aus der Ferne.Und wenn in mehreren Zellen gleichzeitig 4 Sandkörner oder mehr vorhanden waren, was dann? In welcher Reihenfolge Erdrutsche machen? Antwort: Es spielt keine Rolle.Beweise, - , ( , ): ( . . , ). , , . . - . , — , , , — . , , : . , , , , . , — , , , .
Wenn Sie viele, viele Sandkörner in eine Zelle eines endlosen Feldes werfen und sie zerbröckeln lassen, erhalten Sie ein solches Mandala:
Hier sind "viele, viele" 30 Millionen, und Zellen mit 0, 1 , 2 , 3 Sandkörnern sind mit Pixeln aus Weiß, Grün und Lila markiert und goldene Farbe. Auf YouTube gibt es ein Video , in dem Sie sehen können, wie es in der Dynamik aussieht.Addiere und subtrahiere
Aufgrund der Tatsache, dass die Abfolge der Erdrutsche unwichtig ist, können wir den Vorgang des Hinzufügens stabiler Sandhaufen bestimmen: Wir legen eine übereinander, stapeln Sandkörner aus den entsprechenden Zellen und lassen sie zerbröckeln. In einem unendlichen Feld müssen Sie dann darauf achten, koordinierte Koordinaten für beide Heap-Terme einzuführen. Es kann behandelt werden und Sandhaufen auf dem letzten karierten Feld - wenn die Sandkörner über den Rand bröckeln, sind sie für immer verloren (sie sagen, dass der Rand des Feldes Kletki sinkt (Spüle) oder eine große Kletischa keine Rolle spielt). Unten sehen Sie ein Beispiel für das Hinzufügen von zwei Sandhaufen in einem 3 × 3-Feld. Wie Sie sehen können, führen zwei verschiedene Kollapssequenzen zum gleichen Ergebnis.
Es ist auch auf dem Torus möglich, aber darin muss immer noch mindestens eine Drainagezelle hergestellt werden, damit irgendwo Sand austreten kann, da sonst die Abfolge der Erdrutsche unendlich sein kann.Es stellt sich heraus, dass der Satz stabiler Sandhaufen auf einem bestimmten Feld (endlich oder unendlich) die Struktur eines kommutativen Monoids hat : Sie können zusammen gestapelt werden (außerdem ist dieser Zusatz kommutativ und assoziativ), und das leere Feld ohne ein einziges Sandkorn spielt die Rolle Null. Sie können Haufen nicht so einfach abziehen: Sie können eine negative Menge Sandkörner erhalten. Wir werden jedoch auch ein Analogon der Subtraktion konstruieren, aber nicht für alle Haufen, sondern nur für die Elite.Ein bisschen Algebra. Idealin einem kommutativen Monoid wird seine Teilmenge genannt, die in Bezug auf die Addition von Elementen dieses Monoids, einschließlich nicht aus dem Ideal, unveränderlich ist. Das heißt, wenn Sie zu einem Ideal gehören, werden Sie nicht daraus hervorgehen, egal was Sie sich selbst hinzufügen. Zum Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen auch ein kommutatives Monoid, nur in Bezug auf die Multiplikation, und das Ideal darin ist zum Beispiel die Menge der geraden Zahlen: Wenn eine gerade Zahl nicht multipliziert, erhalten Sie immer eine gerade Zahl. Das minimale Ideal ist der Schnittpunkt aller (nicht leeren) Ideale, selbst ist auch ein Ideal. Im Beispiel mit natürlichen Zahlen ist der Schnittpunkt aller nicht leeren Ideale eine leere Menge. Bei endlichen kommutativen Monoiden ist dies jedoch nicht der Fall. Es gibt einen Satz über das Minimalideal in einem endlichen kommutativen Monoid, nach dem es istdurch eine Gruppe (in Bezug auf dieselbe Operation, die auf dem Monoid angegeben ist): Es gibt ein neutrales Element (analog zu Null), und jedes Element hat eine Umkehrung, dh die Subtraktion wird zusammen mit der Addition angegeben. Im Allgemeinen hat sich dies als langweilig erwiesen, aber wir interessieren uns nur für Sandhaufen.Nehmen Sie Haufen auf das letzte Feld, so dass die Menge der stabilen Haufen endlich ist. Beachten Sie, dass der Sandhaufen mit der maximalen Anzahl von Sandkörnern in jeder Zelle (dh 3; nennen wir es einfach „Haufen 3“) zu jedem Ideal im Monoid stabiler Sandhaufen gehört, da Sie jedem stabilen Haufen einen weiteren speziell ausgewählten stabilen Haufen hinzufügen können ein Haufen, um ein paar 3 zu bekommen (Erdrutsche müssen nicht gemacht werden). Somit wird das minimale Ideal erzeugtHaufen 3: Um es zu bekommen, müssen Sie Haufen 3 nehmen und der Reihe nach alle Arten von stabilen Sandhaufen hinzufügen. Dies führt zu einer bestimmten Teilmenge der Menge aller stabilen Heaps. Es enthält beispielsweise kein leeres Feld. Sandhaufen dieser Untergruppe werden als wiederkehrend (wiederkehrend) bezeichnet.Die allgemeine Algebra sagt uns also, dass viele Sandhaufen eine Gruppe sind. Daher hat es umgekehrte und neutrale Elemente. Ein neutrales Element (Identitätselement) ist ein Rückgabehaufen, der beim Hinzufügen zu einem anderen Rückgabehaufen nicht geändert wird. Übrigens wird das Hinzufügen eines neutralen Elements nur in der Abbildung des Hinzufügens von Haufen gezeigt.Um ein neutrales Element zu erhalten, müssen Sie jede Zelle doppelt so viel wie die maximale Anzahl von Sandkörnern (d. H. 6) einwerfen, zerbröckeln lassen und dann die Anzahl der Sandkörner in jeder Zelle von 6 subtrahieren. Lassen Sie das Ergebnis zerbröckeln.
Warum?() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.
(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !
, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .
Wie subtrahieren?I = (6−6°)° — , , R R−1 — , R I: (R−1+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .
So sieht das neutrale Element der Gruppe der (Rück-) Sandhaufen im Bereich von 1024 × 1024 aus; Zellen mit 0, 1 , 2 , 3 Sandkörnern in der Zelle sind schwarz, grün, lila und golden gefärbt.
Auf KDPV - das gleiche gilt für das Feld 1000 × 500, und die Darstellung der Addition von Haufen 3 × 3 zeigt auch das lokale neutrale Element.Das heißt, Sie verstehen. Gruppen sind unterschiedlich, aber die neutralen Elemente in ihnen sehen normalerweise völlig neutral aus. In der Gruppe einiger Additionszahlen ist das neutrale Element die Zahl 0, in der Gruppe der reellen oder komplexen Zahlen ungleich Null in der Multiplikation ist die Zahl 1, in der Gruppe der Additionsvektoren der Nullvektor, in der Permutationsgruppe ist die Permutation "alles an seiner Stelle" in der Gruppe Bewegungen - "nichts berühren." Und hier - so eine Schönheit! Welche versuchen noch zu berechnen.Muster
Sowohl im neutralen Element als auch in dem Haufen, der aus vielen Sandkörnern in einer Zelle zusammengebrochen ist, sind Ansprüche auf Selbstähnlichkeit sichtbar. Obwohl sich die Details ändern, wenn die Größe des Felds geändert wird, bleibt das gesamte Bild - als ob eine fraktale Karte von Bereichen mit einfachen periodischen Mustern aus Sierpinskis Servietten - unverändert und nur Details, wenn das Feld vergrößert wird.
Moritz Lang, CC BY-SA 4.0Es scheint keinen Beweis für diese Tatsache speziell für ein neutrales Element auf einem quadratischen Gitter zu geben. Für einen Haufen, der aus vielen Partikeln in einer Zelle zusammengebrochen ist, sind Existenz ( Preprint , Artikel ) und Fraktalität ( Preprint , Artikel ) bewiesen) der Figur, die sich aus der Tendenz der Anzahl der Sandkörner zur Unendlichkeit bei gleichzeitiger Einstellung der Skala ergibt.Darüber hinaus wurde die Existenz und Fraktalität des Sandhaufens in einem endlichen quadratischen Feld (genauer gesagt, seine Grenze für die Anzahl der Zellen im Feld, die zu ∞ tendieren), einem neutralen Element mit 1 Sandkorn in jeder Zelle (mit anschließendem Abwerfen, wie üblich), nachgewiesen.
Die Autoren des Proofs ( Preprint , Artikel ) haben freundlicherweise einen Algorithmus zur Verfügung gestellt, der die entsprechende Abbildung beschreibt und mit einer vereinfachten Implementierung ein solches Bild ergibt - vergleiche mit dem obigen Bild:
Code für Wolfram Mathematica4- . , ask R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].
qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]
In gekrümmten Dreiecken, die fraktale Bilder bilden, sind nicht nur mehr oder weniger homogene periodische Muster sichtbar (insbesondere beim KDPV), sondern auch eindimensionale verzweigte „Defekte“. Dies scheinen tropische Kurven zu sein . In jedem Fall ist bekannt ( Vorabdruck , Artikel ), dass, wenn mehrere separate Sandkörner mit 3 Sandkörnern in jeder Zelle auf das letzte Feld geworfen werden, ein Bild des Diagramms als Ergebnis des Abwerfens entsteht, bei dem es sich um eine tropische Kurve handelt, die durch die körnigen Sandkörner verläuft.
Variationen und Verallgemeinerungen
Anspruchsvolle Experten für zellulare Automatisierung haben bereits darüber nachgedacht: Wir können auch die Nachbarn der Zelle und diejenigen berücksichtigen, die nur einen gemeinsamen Blickwinkel haben („die Umgebung von Moore“). Der Zusammenbruch sollte in diesem Fall auftreten, wenn 8 Sandkörner im Käfig erreicht sind. Nun, 5 Millionen Sandkörner in der zentralen Zelle werden zu einer solchen Zahl (Farben: 0 - Weiß, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ):
Natürlich können Sie nicht nur quadratische Zellen, sondern auch andere reguläre Strukturen berücksichtigen . Die entsprechenden Bilder befinden sich in der Galerie auf der Seite eines der Autoren der oben genannten Artikel.Darüber hinaus kann Sand im Allgemeinen auf jedem Diagramm gestreut werden, einschließlich orientierter: Sandkörner werden an den Scheitelpunkten gesammelt, und ein Zusammenbruch tritt auf, wenn die Anzahl der Sandkörner im Scheitelpunkt den ausgehenden Grad des Scheitelpunkts erreicht (die Anzahl der von ihm ausgehenden Kanten). Wenn Sie jedoch eine Gruppe von Sandhaufen in diesem Diagramm betrachten möchten, muss sie endlich sein, eine Senkoberseite haben und von jedem Scheitelpunkt aus erreichbar sein. Wenn Sie diesen Absatz jedoch überhaupt gelesen haben, haben Sie ihn wahrscheinlich bereits herausgefunden.Der Code
Das Spiel "Leben" war schon immer eine meiner Lieblingsaufgaben beim Erlernen einer neuen Programmiersprache. Aber sie begann sich bereits darum zu kümmern, und als ich über Sandhaufen las, entschied ich, dass dies eine schöne Aufgabe war, die zum Üben in einer schönen Sprache geeignet war und noch wenig bekannt war (wie ich dachte) - vielleicht bin ich der erste, der weiß, wer es ist Raste wird programmiert! Ja, schaz. Selbst bei Google Play gibt es Sandhaufen - eins , zwei . So wurden auf Rust einige Implementierungen auf Github gefunden; aber sie sind nicht sehr gut. Meine Implementierung ist unter github.com/colt-browning/sandpile. Sie können es direkt in der Befehlszeile verwenden (obwohl sich das System mit der polnischen Argumentation leider als kompliziert herausgestellt hat), Sie können es als Bibliothek verwenden. Das Verschütten erfolgt im Allgemeinen recht unkompliziert, für wichtige Sonderfälle werden jedoch optimierte Verfahren bereitgestellt.Frage Antwort
Warum ist das alles notwendig?
Gemeinsame Antwort. Es ist Zeit, das Buck-Than-Wiesenfeld-Modell zu erwähnen. Manchmal wird es mit einem Sandhaufenmodell gemischt, aber es ist genauer zu sagen, dass dies ein Add-On über einem Sandgerüst ist: Wir nehmen einen Sandhaufen in ein quadratisches Feld und werfen ein Sandkorn darauf in zufällige Zellen, wobei wir jedes Mal beobachten, wie das Abwerfen auftritt und wie viele Zellen die Lawine beeinflusst Erdrutsche ( Video) Mit welcher Konfiguration auch immer wir beginnen, wir werden früher oder später kommen, um Haufen zurückzugeben. Numerische Experimente zeigen, dass die Größenverteilung von Lawinen ein Potenzgesetz ist. In natürlichen Systemen nimmt die Reaktion auf Schwankungen im Durchschnitt exponentiell ab, und eine Verteilung des Potenzgesetzes tritt in Zuständen auf, die als kritisch bezeichnet werden - beispielsweise in der Nähe eines Phasenübergangs. Um jedoch in den Phasenübergang zu gelangen, müssen in der Regel die Systemparameter (z. B. Temperatur und Druck) „fein eingestellt“ werden, oder es gibt Wahrscheinlichkeiten für eine Kante in der Grafik, wenn es sich um das Perkolationsproblem im Gitter oder im Erdos-Renyi-Modell handelt- dort gibt es auch Phasenübergänge). Und im BTV-Modell erscheint selbst ein Potenzgesetz ohne Feinabstimmung. Dies nennt man selbstorganisierte Kritikalität. BTV hat nicht nur ein Modell für Sandhaufen entwickelt, sondern aufgrund ihrer Arbeit war Sand unter der Flagge selbstorganisierter Kritikalität fest in der Wissenschaft verankert: Wenn wir verstehen, wie selbstorganisierte Kritikalität im Sand entsteht, hilft es zu verstehen, woher er im Prinzip kommen kann Natur (und in der Natur treten auch Machtgesetze unklaren Ursprungs auf). Es scheint, dass das Potenzgesetz für das BTV-Modell auf einem quadratischen Gitter noch nicht streng festgelegt wurde, aber es gibt viele enge theoretische Ergebnisse ( hier sind neuere Ergebnisse ) und natürlich numerische und sogar vollständige Experimente.Ehrliche Antwort. Ja, du siehst dir nur die Bilder an, was für eine Schönheit!Sie haben das alles von Wikipedia abgeschrieben und Bilder von dort heruntergeladen
Ich habe nicht abgeschrieben und heruntergeladen, sondern geschrieben und hochgeladen.Wo sonst kann man über Sand lesen?