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Über Mathematik und Pandemien

Haftungsausschluss 1

Ich bin Mathematiker, KEIN ARZT und kein spezialisierter Spezialist für Epidemiologie. Vor fast 20 Jahren habe ich meine letzte wissenschaftliche Arbeit zum Thema Epidemiemodellierung geschrieben. Fragen Sie bei allen Fragen der Gesundheit, der Coronaviren und des Lebenssinns Ihren Arzt, seien Sie keine dummen Menschen.
Haftungsausschluss 2

Nachfolgend finden Sie eine Reihe von Grafiken. Bevor ich sie baute, kalibrierte und vereinfachte ich das Modell absichtlich und stimmte von den Parametern von COVID-19 ab. Diese Grafiken zeigen die Entwicklung einer Epidemie eines bedingten Virus in einer bedingten Population in einer bedingten Zeit. Machen Sie keine Vorhersagen über den Verlauf der aktuellen Pandemie, verlassen Sie sich auf meine Bilder, seien Sie keine dummen Leute.
Nun, jetzt lass uns gehen! Aus offensichtlichen Gründen ist das Interesse an einer Pandemie inzwischen ziemlich gestiegen, und alle Arten von mathematischen und nicht sehr mathematischen Modellen bewegen sich in sozialen Netzwerken in Rudeln. Die Zahl der Epidemiologen und Spezialisten für Differentialgleichungssysteme hat alle denkbaren Grenzen vollständig überschritten. Trotzdem werden bei all diesen Informationen Aufruhr, Versickerung, stochastische Nachahmung Modelle seltsamerweise ignoriert. Wir werden diesen Mangel sofort beheben. Übrigens habe ich zum ersten Mal über solche Modelle (und vieles mehr) in einem wunderbaren Buch von Gould und Tobochnik „Computermodellierung in der Physik“ gelesen .

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Die Pandemie COVID-19, eine potenziell schwere akute Atemwegsinfektion, die durch das SARS-CoV-2-Coronavirus (2019-nCoV) verursacht wird, wurde weltweit offiziell angekündigt. Zu diesem Thema gibt es viele Informationen zu Habré - denken Sie immer daran, dass es sowohl zuverlässig / nützlich sein kann als auch umgekehrt.

Wir bitten Sie dringend, veröffentlichte Informationen zu kritisieren.


Offizielle Quellen

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Waschen Sie Ihre Hände, kümmern Sie sich um Ihre Lieben, bleiben Sie wann immer möglich zu Hause und arbeiten Sie aus der Ferne.

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Das Perkolationsmodell ist täuschend einfach. Zunächst erstellen wir ein allgemeines Computermodell einer Person, die an einer Epidemie beteiligt ist. Etwas nicht allzu kompliziertes: gesund, krank, erholt, gestorben und die Bedingungen für den Übergang zwischen den Bedingungen. Basierend auf statistischen Daten der untersuchten Population wird jede spezifische Instanz zufällig mit bestimmten Merkmalen wie Alter, Geschlecht (falls wichtig), Immunitätsstärke usw. ausgestattet. Nachdem wir eine Handvoll solcher instanziierter Instanzen erstellt haben, platzieren wir sie oben in einem bestimmten Diagramm, das soziale Verbindungen imitiert. Danach müssen die Bedingungen für die Übertragung der Infektion zwischen Individuen festgelegt, die ersten Glücklichen infiziert und die Epidemie ausgelöst werden.

Der große Vorteil dieses Ansatzes besteht in der einfachen Modifikation und der Freiheit von zahlreichen A-priori-Annahmen, sodass Sie das Modell schnell für eine Vielzahl von sogar exotischen Szenarien ausführen können. Wir werden unten Beispiele sehen. Die Kehrseite dieser Methode ist, dass eine strenge mathematische Beschreibung und Analyse der in einem solchen System auftretenden Effekte oft sehr kompliziert ist (gelinde gesagt). Dies schadet uns jedoch nicht beim Experimentieren.

Genug geredet! Nehmen Sie 16 Millionen Patsaks und legen Sie sie gleichmäßig auf die Hypersphäre. Verbinden Sie die Nachbarn im Diagramm mit einem regelmäßigen Muster. Dies ist eine faire Vereinfachung für den sozialen Graphen, aber Gott sei Dank sind wir nicht das Gesundheitsministerium. Wir werden die Infektion jeden Tag auf zwei Arten verbreiten. Erstens kann der Patsak bei jedem Schritt mit einiger Wahrscheinlichkeit von kranken Nachbarn infiziert werden. Zweitens kann er sich mit einer anderen Wahrscheinlichkeit bei jedem Schritt von einem versehentlichen Patsaka infizieren, der sich nicht in seiner Umgebung befindet (die Auswirkung des „öffentlichen Verkehrs“). Und schließlich die Krankheit selbst. Wir machen eine 10-stündige asymptomatische Beförderungsperiode, nach der der Patsak Symptome zeigt und nicht mehr an der Ausbreitung beteiligt ist. In den nächsten 10 Schritten ist er krank und hat bei jedem Schritt eine Chance, sich anzusammeln. Danach erholt er sich (wenn er überlebt,natürlich) und erwirbt anhaltende Immunität. Die erste Aussaat dauert 100 Patsaks.

Unter diesen Bedingungen erhalten wir das folgende Bild:



Violett zeigt den Prozentsatz der nicht infizierten Patsaks, gelb - krank, grün - erholt, schwarz - Sie verstehen.

Schauen wir uns die Patienten genauer an:



Hier wird bei jedem Schritt der Prozentsatz der kranken, aber immer noch asymptomatischen Patsaks in rot und blau angezeigt - mit Symptomen.

Kehren Sie nun zum ersten Zeitplan zurück und sehen Sie sich die Anfangsphase der Epidemie genauer an (die Legende ist dieselbe):



Ja Ja. Dies ist genau der Aussteller, den die Medien bereits rundum gegessen haben. Wenn an den Fingern, dann ist der Ursprung dieses Exponenten wie folgt: Unter Bedingungen, bei denen die Anzahl der Träger gering ist und das öffentliche Leben den Träger mit neuen zufälligen nicht infizierten Patsaks versorgt, ist die Anzahl der Neuinfektionen direkt proportional zur Anzahl der Träger. Mathematisch wird dies als Differentialgleichung geschrieben



Sie glauben nicht, dass die Lösung ein Aussteller ist. So etwas findet man an vielen Orten in der Natur, insbesondere eines der hellsten Beispiele in jeder Hinsicht ist eine unkontrollierte Kettenreaktion. Mit zunehmender Anzahl von Trägern endet dann das Hybriol für den Infektionserreger, aber im Rahmen der aktuellen Pandemie ist diese Phase beispielsweise noch nicht abgeschlossen. Wenn die obige Gleichung etwas kompliziert und verdreht ist, um die Erschöpfbarkeit der Ressourcen für die Reproduktion zu berücksichtigen, erhalten wir die klassische Verhulst-Gleichung (auch bekannt als logistische Gleichung):



der Eckpfeiler der Bevölkerungsdynamik. Wenn Sie jemals von r-Strategien und K-Strategien der Reproduktion gehört haben, ist dies nach den Koeffizienten aus der obigen Gleichung benannt. Die Lösungen der logistischen Gleichung mit dem Auge sind von den Grafiken aus der ersten Abbildung nicht zu unterscheiden (was nicht allzu überraschend ist), daher werde ich sie nicht separat angeben. Leider ist die Verhulst-Gleichung für unsere Probleme eine übermäßige Vereinfachung, deshalb verabschieden wir uns von ihm und fahren fort.

Lassen Sie uns jetzt Maßnahmen ergreifen, sagen wir, wir werden Patsaks für das Wochenende schicken und öffentliche Verkehrsmittel und Veranstaltungen bis zum Ende der Epidemie schließen. Im Rahmen des Modells bedeutet dies, dass sich die Infektion nur noch entlang der Ränder des sozialen Diagramms ausbreitet, von relativ zu relativ, von Freund zu Freund. Ja, offensichtlich hat Chatlane nicht sofort aufgeholt, also werden wir Maßnahmen ergreifen, wenn 1000 Patsaks krank werden.

Auf der gleichen Zeitskala:



Und



beachten Sie, dass die Epidemie im letzten Experiment ohne „restriktive Maßnahmen“ ausgehen konnte und hier sogar ihren Höhepunkt erreicht.

Werfen wir einen Blick auf die gesamte Epidemie:



Wie Sie sehen, hat sich die Zeit der Epidemie viele Male ausgedehnt.

Der Schritt-für-Schritt-Zeitplan ist besonders wichtig: Die getroffenen



Maßnahmen sind eine Größenordnungreduzierte gleichzeitig die Zahl der Kranken. Warum dies wichtig ist, wird unten gezeigt.

Vielleicht sind die Grafiken nicht so auffällig, aber der Haupteffekt besteht darin, dass sich der exponentielle Anstieg der Anzahl der Fälle nach dem Ergreifen von Maßnahmen fast augenblicklich zu einem Potenzgesetz ändert. Ungefähr an den Fingern kann dies wie folgt erklärt werden: Jeder neue Patient wird selbst zur Infektionsquelle und beginnt, alle um ihn herum zu infizieren (eine Art Huygens-Infektionsprinzip). Diese „Umgebung“ wird jedoch nur von wenigen nicht infizierten Nachbarn begrenzt, die, wenn sie selbst infiziert sind, die Infektion weiter übertragen. Um den Ausbruch herum bildet sich also eine „Wellenfront“, die sich mit konstanter Geschwindigkeit in alle Richtungen ausbreitet (wer sagte, dass „eikonal“ so gut gemacht ist), und die Anzahl der Infizierten ist das Volumen des durch die Wellenfront markierten „Raums“, der (reine Geometrie) proportional zu einem gewissen Grad der von der Front zurückgelegten Strecke.

Nun, das letzte Experiment für heute. Wir werden großzügig gegenüber dem Gesundheitssystem sein, aber gleichzeitig Realismus hinzufügen. Lassen Sie die Sättigungsschwelle 10% der Bevölkerung auf einmal betragen (dies ist offensichtlich viel kühler als die Realität) und lassen Sie die Wahrscheinlichkeit, Flossen für einen Patsaka zu kleben, der kein Bett bekommen hat, um das 10-fache erhöhen. Lassen Sie Chatlanes sich schließlich nicht um die Feiertage für die Patsaks kümmern (es macht keinen Sinn, ein solches Szenario für die Feiertage zu berechnen, das Gesundheitsministerium wird in Spitzenzeiten einen dreifachen Sicherheitsspielraum haben). Dann erhalten wir:



Der Sättigungspunkt wird im Bereich von Schritt 75 direkt über dem Buchstaben i erreicht. Damit Sie nicht plötzlich denken, dass "das Gesundheitsministerium nicht benötigt wird", finden Sie hier einige weitere Zeitpläne für den Fall, dass das Medikament nicht ausreichte, um übersättigt zu werden, aber ursprünglich nicht (willkommen im Mittelalter):



So geht es. Sei nicht krank!

Fortsetzung folgt.

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