🐹 ✴️ 👨‍👩‍👦 Sprawl Lemmas für reguläre und kontextfreie Sprachen 🕥 👃🏿 🕛

Zwei Wachstumsspannen sind Aussagen, die verwendet werden, um die Begrenzung wichtiger Klassen formaler Sprachen zu beweisen: regelmäßig und kontextfrei. Die Bedeutung dieser Klassen für Programmierer ist leicht zu verstehen: Reguläre Ausdrücke (eine der Beschreibungen regulärer Sprachen) werden in der Arbeit häufig verwendet, und Programmiersprachen, deren Syntax durch kontextfreie Grammatiken beschrieben wird, sind es noch mehr.

Die Deckspelzen sind einander sowohl in Formulierungen als auch in Proofs sehr ähnlich. Diese Nähe schien mir so wunderbar, dass ich mich entschied, einen ganzen Artikel zu widmen.

Der Plan lautet wie folgt: Wir verstehen, was reguläre Sprachen sind und in welcher Beziehung reguläre Ausdrücke und endliche Automaten stehen. Wir formulieren und beweisen ein Erweiterungslemma für reguläre Sprachen und verwenden es, um die Unregelmäßigkeit mehrerer Sprachen zu beweisen. Dann machen wir einen ähnlichen Trick mit kontextfreien Sprachen. Dabei erfahren wir, wie sie sich auf reguläre Sprachen beziehen und wie man entdeckte Einschränkungen mithilfe allgemeiner Grammatiken umgeht. Gehen!

KDPV veranschaulicht den Wachstumsprozess für KS-Grammatiken

— ( , ) . , , . : $\Sigma$ . , .. , : $\varepsilon$ .

(.. ), : . . , .

1.

: , , .

, :

$\varnothing$ — , ;
$\{\varepsilon\}$ — , , , ;
$\{a\}, a \in \Sigma$ — , .

. $A$ $B$ — , :

$A \cup B$ — ;
$A \cdot B = \{\alpha \beta | \alpha \in A, \beta \in B \}$ — : , $A$ , $B$ ;
$A^*= \{\alpha_1 \alpha_2 ... \alpha_k | k \in \mathbb{N}_0, \alpha_i \in A \}$ — : $k$ $A$ , $k$ .

: $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}$ , ,

: $A \cdot B = AB$ .

. , , . , PuTTY, - :

http[s]?://(?:[a-zA-Z]|[0-9]|[$-_@.&+]|[!*\(\),]|(?:%[0-9a-fA-F][0-9a-fA-F]))+

, url' , , , , url'. .

: ([0-9]), ([s]?), (a+ — , aa*, .. ) . , , .

, ( ), | (), * () . , .

, :

$abc(de^*f|de)$

, :

abcde
abcdf
abcdef
abcdeef
abcdeeef
abcdeeeef

2.

. — , . , (). .

. , , .

, , . , , . , — , .

. , , , , .

, $bab|aab^{*}ca$

. $a_i$ , $a_j$ , $a_k$ — . $a_i$ $a_k$ , $L_{ik}$ . , $a_i$ $a_j$ $L_{ij}$ , $a_j$ $a_k$ — $L_{jk}$ . , $a_j$ , $L_{jj}$ .

$a_j$ , $a_i$ $a_k$ ,

$L^{'}_{ik} = L_{ik} \cup L_{ij} \cdot L^{*}_{jj} \cdot L_{jk}$

, $a_j$ . , , , .

, , . , - , $\varepsilon$ . , . , .

, . : ; , , , , ; , , , , .

, . , , :

, .

3.

$L = \{a^nb^n | n \in \mathbb{N}_0 \}$ . $\varepsilon$ , $ab$ , $aabb$ , $aaabbb$ . ? , .

, , . , , : , $a$ — $b$ . , ? … , , ?

, ! , , .

. $L$ $n \in \mathbb{N}$ , $\forall w \in L, |w| \ge n$ $x$ , $y$ , $z$ , : $w = xyz$ ; $y \ne \varepsilon$ ; $|xy| \le n$ ; $\forall k \ge 0: xy^kz \in L$ .

$L$ — , $n$ , $w \in L$ — $n$ .

$w$ : $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_m$ . , , $m+1$ , $m \ge n$ .

$n$ , . $a_i$ — , $j$ . $x$ — $i$ $w$ , $y$ — $w$ , $a_i$ $a_j$ , $z$ — $w$ , $a_j$ $a_n$ .

$a_i$ $a_j$ , ( !) , , , $\forall k \in \mathbb{N}_0: xy^kz \in L$ .

$a_i$ , $a_j$ — . , $a_0$ , $a_1$ , ..., $a_{j-1}$ . , $n$ . , $j \le n$ $|xy| \le n$ , .

: , , ( .. ) , , .

$L = \{a^nb^n | n \in \mathbb{N}_0\}$ . $n$ — . $a^nb^n$ $a^nb^n = xyz$ ,
$|xy|\le n$ , , , $xy$ $a$ . $y$ $a$ , . $xy^kz$ $k>1$ $a$ , $b$ , , $L$ . $L$ . , $L$ !

$(^n)^n$ , . .

4. -

— , .

: () $T$ () $N$ ; $\Sigma = N \cup T$ . $S \in N$ — .

$P$ . $\varphi$ $\Sigma$ : $(s_1, s_2) \in \varphi$ , $s_1$ $s_2$ . : . , $(s_1, s_2) \in \varphi$ , $s_1 \rightarrow s_2$ .

$\beta$ $\alpha$ , $\alpha = xs_1z$ , $\beta = xs_2z$ $(s_1, s_2) \in \varphi$ . , — . : $\alpha \vdash \beta$ .

, $\beta$ $\alpha$ ( ), $s_0 = \alpha$ , $s_1$ , $s_2$ , ..., $s_{k+1}=\beta$ , : $s_i \vdash s_{i+1}$ . $\alpha \Rightarrow \beta$ .

$s$ , : $s \in T^*$ , $S \Rightarrow s$ . , , .

, - (-), — . , - , - .

, - :

$S \rightarrow (S)S$
$S \rightarrow \varepsilon$

, , . , - , . ; .

, , «» :

def BuildPath(queue, parents, parent):
    path = []
    while parents[parent] != parent:
        path += [queue[parent]]
        parent = parents[parent]
    return path[::-1]

def Solve(rules, target):
    queue = ['S']
    parents = [0]

    idx = 0
    while idx < len(queue):
        current = queue[idx]

        for rule in rules:
            entryIdx = current.find(rule[0])
            while entryIdx != -1:
                new = current[:entryIdx] + rule[1] + current[entryIdx + len(rule[0]):]

                if new == target:
                    path = [queue[0]] + BuildPath(queue, parents, idx) + [new]
                    return path

                queue.append(new)
                parents.append(idx)

                entryIdx = current.find(rule[0], entryIdx + 1)

        idx += 1

, , , , , ; ! :

rules = [
    ("S", "(S)S"),
    ("S", ""),
]
target = "(()())()"
print('\n'.join(Solve(rules, target)))

S
(S)S
((S)S)S
((S)(S)S)S
((S)(S)S)(S)S
(()(S)S)(S)S
(()()S)(S)S
(()())(S)S
(()())()S
(()())()

- $L = \{a^nb^n | n \in \mathbb{N}_0\}$ :

rules = [
    ("S", "aSb"),
    ("S", ""),
]
target = "aaabbb"
print('\n'.join(Solve(rules, target)))

S
aSb
aaSbb
aaaSbbb
aaabbb

- , . , -, . , - : , , , .

, - .

5. -

$L = \{ a^nb^nc^n | n \in \mathbb{N}_0 \}$ . , - $a^nb^n$ , , , - :

$S \rightarrow \varepsilon$
$S \rightarrow AB$
$A \rightarrow aAb$
$B \rightarrow Bc$
$A \rightarrow \varepsilon$
$B \rightarrow \varepsilon$

$a^nb^nc^m$ . , $m$ $n$ ? « » , , . , , . -,

- . - $L$ $n \in \mathbb{N}$ , $\forall w \in L, |w| \ge n$ $u$ , $v$ , $x$ , $y$ , $z$ , : $w = uvxyz$ ; $vy \ne \varepsilon$ ; $|vxy| \le n$ ; $\forall k \ge 0: uv^kxy^kz \in L$ .

, .

, . , . , :
$S \rightarrow \varepsilon$
$A \rightarrow BC$
$A \rightarrow a$

, , : , — . . .

- acd

, . $n=2^{|N|+1}$ , $|N|$ — , $w \in L, |w| \ge n$ . . — , .. . , $m$ , $|N|+1$ . , -. , .

$B$ , , $B$ . : , , .

$B$ , $S \vdash uBz$ . $B$ , $B$ , $B \rightarrow vBy$ , $vy \ne \varepsilon$ , .. , . $B$ $x$ .

$S \vdash uBz$
$B \vdash vBy$
$B \vdash x$

, $\forall k \in \mathbb{N}_0 S \vdash uv^kxy^kz$ , $vy \ne \varepsilon$ .

$vxy$ . .. $B$ , , $|N|$ . , $2^{|N|+1} = n$ . $|vxy| \le n$ .

$L = \{ a^nb^nc^n | n \in \mathbb{N}_0\}$ . , -. , $n$ — . $a^nb^nc^n$ .

, $a^nb^nc^n=uvxyz$ , $|vxy| \le n$ $vy \ne \varepsilon$ , $uv^kxy^kz$ .

$vxy$ $a$ , $c$ , .. $w$ $a$ $c$ $n$ $b$ , $vxy$ $n$ .

$uv^kxy^kz$ $k$ . , $k>1$ $m$ , $uv^kxy^kz = a^mb^mc^m$ , $L$ . , -!

6.

, - . , $L = \{ a^nb^nc^n | n \in \mathbb{N}_0 \}$ , .

$S \rightarrow \varepsilon$
$S \rightarrow aHbCE$

$E$ , $b$ $c$ . :

$E \rightarrow \varepsilon$

$H$ :

$H \rightarrow aHbC$
$H \rightarrow \varepsilon$

, , $C$ $c$ . - !

$Cb \rightarrow bC$
$CE \rightarrow Ec$

! 5 , :

rules = [
    ("S", "aHbCE"),
    ("H", ""),
    ("H", "aHbC"),
    ("Cb", "bC"),
    ("CE", "Ec"),
    ("E", ""),
]
target = "aaabbbccc"
print('\n'.join(Solve(rules, target)))

S
aHbCE
aaHbCbCE
aaaHbCbCbCE
aaaHbbCCbCE
aaaHbbCbCCE
aaaHbbbCCCE
aaaHbbbCCEc
aaaHbbbCEcc
aaaHbbbEccc
aaaHbbbccc
aaabbbccc

: «» ; $C$ . .

( ) , . - .

Sprawl Lemmas für reguläre und kontextfreie Sprachen

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