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Mathematik in der Astronautik: Rotationsdetonationsmotor



Jemanden oder etwas jenseits unseres Planeten bis heute zu senden, ist ein äußerst schwieriges und kostspieliges Vergnügen. Während Raumfahrer aus verschiedenen Science-Fiction-Werken der Massenkultur Repeater („Mass Effect“), Warp-Motoren („Star Trek“) oder sogar Stargate („Stargate“) verwenden, ist in Wirklichkeit alles viel prosaischer. Derzeit sind uns solche unrealistischen Technologien nicht bekannt, da wir Raketentreibstoff verwenden. Um ein Shuttle oder eine Booster-Rakete zu starten, ist natürlich extrem viel erforderlich. Ein neuer Motortyp - Rotationsdetonation - kann dieses Problem lösen. Während der Entwicklungsprozess noch lange nicht abgeschlossen ist, haben Wissenschaftler der University of Washington beschlossen, ein mathematisches Modell dieses Geräts zu erstellen, um das Funktionsprinzip besser zu verstehen.Auf diese Weise können Ingenieure genaue Prototypentests durchführen und besser verstehen, welche Verbesserungen implementiert werden müssen. Wie sieht der Raketentriebwerk mit den Augen eines Mathematikers aus und was haben Sie durch Modellieren gelernt? Die Antworten auf diese Fragen erwarten uns im Bericht der Forschungsgruppe. Gehen.


Es ist offensichtlich, dass eine große Menge an Energie benötigt wird, um das Raumschiff aus der Erdatmosphäre zu entfernen. Die Menge dieser Energie hängt vom verwendeten Kraftstoff und vom Motor der Vorrichtung ab. Es gibt viele Optionen für die erste, aber sie sind in ihrer Wirksamkeit weit entfernt von Science-Fiction-Äquivalenten. Denn der Entwicklung eines neuen Motortyps wird viel Aufmerksamkeit geschenkt.

Ein klassischer Raketentriebwerk arbeitet durch eine exotherme chemische Reaktion von Kraftstoff und Oxidationsmittel. Wenn diese beiden Komponenten des Kraftstoffs reagieren, werden viel Wärmeenergie und ein gasförmiges Arbeitsfluid erzeugt, das sich ausdehnt. Dies führt dazu, dass seine innere Energie in kinetische Energie des Strahls umgewandelt wird. Im Kern ist dieser chemische Prozess die Verpuffung, d.h. Unterschallverbrennungsprozess.

Die Deflagration kann durch Detonation ersetzt werden, wenn sich eine Stoßwelle durch eine Substanz ausbreitet und chemische Verbrennungsreaktionen auslöst. Der Motortyp, der ein solches Modell implementiert, wird als gepulste Detonationsmaschine bezeichnet, befindet sich aber auch noch in der Entwicklung.

In dieser Studie sprechen wir von einem Rotationsdetonationsmotor (RDE, d. H. Einem Rotationsdetonationsmotor ) - einer Vorrichtung, die einen Schub erzeugt, bei dem sich selbsttragende Stoßwellen, die durch Verbrennung (Detonation) verursacht werden, azimutal in einer ringförmigen Brennkammer ausbreiten.

Kraftstoff und Oxidationsmittel werden üblicherweise durch kleine Öffnungen oder Schlitze (Ringspalte) in den Kanal eingespritzt. Aufgrund des engen Ringspaltes verstärken sich die durch die Wärmeabgabe verursachten Dichte- und Druckgradienten selbst und bilden schließlich Stoßwellen, die stark genug sind, um den Kraftstoff selbst zu entzünden.

Der stabile Betrieb von RDE, der Gegenstand der Forschung ist, kombiniert ein Gleichgewicht mehrerer Aspekte: Verbrennung, Einspritzung und Vermischung, Freisetzung und Freisetzung von Energie. Wenn diese Variablen nicht ausgeglichen sind, kommt es zu einer Destabilisierung des Motors, die sich in Form eines Übergangs zu einer anderen Anzahl von Wellen oder in Form einer Modulation der Wellengeschwindigkeit äußert.


Bild 1: RDE-Schema.

Die rechnergestützte hydrodynamische Modellierung von RDE ermöglicht eine detaillierte Untersuchung der Wellenstruktur und des Strömungsfeldes * Motor.
Das Strömungsfeld * ist die räumliche und zeitliche Verteilung der Dichte und Geschwindigkeit einer Flüssigkeit.

Vektorfeld * - Transformationen des Raums, wobei jeder seiner Punkte als Vektor mit einem Anfang an diesem Punkt angezeigt wird.
Bisher war ein solches Verfahren jedoch sehr kostspielig und kompliziert, wie die Wissenschaftler selbst sagen. Darüber hinaus konnten zuvor erstellte Modelle die Faktoren, die die Bildung der Bifurkation * beeinflussen, nicht isolieren .
Bifurkation * - eine qualitative Änderung des Verhaltens eines dynamischen Systems mit einer unendlich kleinen Änderung seiner Parameter.
Trotz der erwarteten Schwierigkeiten wurde beschlossen, eine Modellierung durchzuführen, wobei jedoch neue experimentelle Daten zur nichtlinearen Dynamik rotierender Detonationswellen verwendet wurden. Auf diese Weise konnten wir ein Modell erstellen, das die unbedeutendsten Änderungen berücksichtigt und so die in der Praxis während der Experimente beobachteten Verzweigungen korrigiert.

experimenteller Teil


Um eine vollständige Studie und eine geeignete Modellierung durchzuführen, wurden bestimmte Experimente durchgeführt. Zu diesem Zweck wurden eine RDE und eine Testkammer speziell zur Untersuchung der Dynamik einer rotierenden Detonationswelle vorbereitet. Der für diese Studie verwendete Motor ist insofern einzigartig, als seine internen Komponenten modular aufgebaut sind. Motorteile können ausgetauscht werden, um verschiedene Ringspiele und die Länge des Brennraums zu erhalten. Sie können auch den Injektor austauschen, um verschiedene Optionen zum Anschließen und Mischen von Kraftstoff zu erkunden.


Bild Nr. 2 Die

Testkamera ist optisch zugänglich und ermöglicht die Aufzeichnung des gesamten kinematischen Verlaufs aller Detonationswellen mit hoher räumlich-zeitlicher Auflösung ( 2a ).

Jedes Experiment repräsentiert eine 0,5 Sekunden lange Verbrennung von Methangas und Sauerstoff mit einem gegebenen Anteil und einer gegebenen Zufuhrrate. In einem erfolgreichen Experiment entzündet ein Funke das Gemisch und erzeugt eine beschleunigende Flamme, die sich in eine Reihe sich bewegender Detonationswellen umwandelt.

Grundlage dieser Studie ist die Annahme, dass die in den Experimenten beobachtete Leuchtkraft mit dem Fortschritt der Verbrennung korreliert. Daher weisen hellere Bereiche eine höhere Wärmeerzeugung auf als dunklere Bereiche. Wenn diese Annahme zutrifft, können Sie mehrere Beispiele für Wellenformen betrachten, die aus Daten einer Hochgeschwindigkeitskamera extrahiert wurden.

Die Kinematik der Welle kann aus Kameradaten unter Verwendung eines Algorithmus zum Integrieren von Pixelintensitäten erhalten und in Form eines Diagramms ( 2b ) aufgezeichnet werden .


Bild Nr. 3

Kameraaufzeichnungen können auch in ein Wellenberichtssystem umgewandelt werden. In diesem Fall ist die Phasendifferenz zwischen den Wellen deutlich sichtbar.

Grafik 3a zeigt Daten von 2b in Form eines Wellenberichtssystems, und 3c zeigt die entsprechende Geschwindigkeit der Welle, die verfolgt wird.

Für diese Daten wurde die Zeit definiert als τ = t (D- Welle / L), wobei L die Länge des periodischen Bereichs und D- Welle die Wellengeschwindigkeit im modengekoppelten Zustand ist.

Am 3aDer Übergang von einer Welle zu zwei ist während des Startvorgangs sichtbar. Bei einem solchen Modenübergang wird nach dem kritischen Punkt eine zweite Detonationswelle gebildet, die sich um den Ring auszubreiten beginnt. Der Abstand zwischen den beiden Wellen im Ringraum ist jedoch asymmetrisch, was zu einem Ungleichgewicht in der von jeder der Wellen verbrauchten Kraftstoffmenge führt. Eine Welle mit der Koordinate θ 1 , die der vorherigen Welle θ 2 folgt , existiert mit einer Phasendifferenz Ψ = θ 2 - θ 1<π (). Wenn wir zu diesem Zeitpunkt davon ausgehen, dass die Häufigkeit der Kraftstofferneuerung ungefähr konstant ist, verbleibt weniger als die Hälfte des verfügbaren Kraftstoffs in der Kammer für den Verbrauch in der Schwanzwelle. Da die Hitze des Raketentreibstoffs die Detonationsgeschwindigkeit direkt beeinflusst, beginnt sich die Verzögerungswelle zu verlangsamen. Die vorherige Welle kann jedoch den Rest des verfügbaren Kraftstoffs verarbeiten und aufgrund dieses Überschusses beschleunigen. Somit verhalten sich diese beiden Wellen dispersiv, wenn sie zu einem stabilen Zustand mit einer maximalen und symmetrischen Phasendifferenz neigen.

Für einzelne Wellenlänge 3aEine quasistationäre Welle hat eine um 20-30% niedrigere Geschwindigkeit als die Chapman-Jouguet-Geschwindigkeit für Raketentreibstoff. Diese Metrik ist die direkt beobachtbare Energie, die zur Aufrechterhaltung der Detonationswelle erforderlich ist, die der Ableitung und Wiederherstellung der Verstärkung in der Brennkammer unterliegt. Wenn es zu einem Übergang zu zwei Wellen kommt und die Dynamik in einem stabilen Zustand hergestellt wird, nimmt die Wellengeschwindigkeit auf ungefähr 90% der Geschwindigkeit einer einzelnen Welle ab.


Bild Nr. 4

Wenn Sie am Ende des Experiments die Kraftstoffzufuhr verlangsamen, ist die gegenteilige Situation zu beobachten. Ein 4a zeigt einen allmählichen Übergang von der Welle 2 zu Welle 1 für ungefähr 10 ms. Im Gegensatz zu dem in 3a gezeigten Fall von überschüssigem Kraftstoff konkurrieren zwei Wellen um einen zunehmend knappen Kraftstoff .

Aufgrund der anfänglichen Störung der Phasendifferenz beginnen die Wellen regelmäßig Kraft (Geschwindigkeit und Amplitude) auszutauschen, was zu einer exponentiellen Zunahme der Instabilität führt. Wenn die Schwingungen der Phasendifferenz zunehmen, tritt eine katastrophale Wechselwirkung zwischen den Wellen auf, wenn die nacheilende Welle während einer der Schwingungen mit einer großen Amplitude die vorausgehende überholt. Nach der Bifurkation ist die Geschwindigkeit der verbleibenden Welle ungefähr 10% höher als die der Welle vor der Instabilität.


Bild Nr. 5

Auch wurden ziemlich oft Welleninstabilitäten beobachtet, die nicht zu einer Änderung der Anzahl der Wellen führten. Bild Nr. 5 zeigt die periodische Wellengeschwindigkeit und -amplitude, die in einem Experiment mit drei rotierenden Wellen beobachtet wurden. Dies ist eine deutliche Modulationsinstabilität, da die spektralen Seitenbänder die Trägerfrequenz begleiten, die der Durchschnittsgeschwindigkeit der Wanderwelle in der Brennkammer entspricht. Diese Betriebsart ist insofern stabil, als sie nicht zu einer Bifurkation der Anzahl der Wellen führt, wenn der Strömungszustand nicht wesentlich gestört wird.

Wenn die Injektorfläche in Bezug auf die Fläche der Ringkammer vergrößert wurde, wurde eine gepulste Betriebsart beobachtet, die durch eine "Ein / Aus" -Betriebsart der Injektoren gekennzeichnet ist.


Bild Nr. 6

Das Bild oben zeigt Schwingungsebenenwellen in einem gepulsten Modus.

Mathematisches Modell


Um genau zu verstehen, welche physikalischen Aspekte im Prozess der Wellenbildung dominieren, wurde ein mathematisches Modell für die Modensynchronisation und die Modengabelungen erstellt, das die Nuancen von Verbrennung, Kraftstoffeinspritzung und Energiedissipation widerspiegelt, deren Struktur durch die folgenden Formeln bestimmt wird:
∂η / ∂t + η (∂η / ∂x) = (1 - λ) ω (η) q 0 + ϵξ (η)
∂λ / ∂t = (1 - λ) ω (η) - β (η, η p , s) λ
η (x, t) - Eigenschaften des Arbeitsmediums;
λ - Brennvariable (λ = 0 - es gab kein Brennen, λ = 1 - vollständige Verbrennung);
ω (η) ist die Wärmefreisetzungsfunktion;
q 0 - Wärmefreisetzung und Proportionalitätskonstante;
ϵξ (η) ist die Energieverlustfunktion;
ϵ ist die Verlustkonstante;
β (η, η p , s) - Injektionsmodell;
η p und s sind Einspritzparameter.

Versuchsergebnisse


Nach der Erstellung des mathematischen Modells führten die Wissenschaftler eine Reihe numerischer Simulationen (d. H. Simulationen) mit den folgenden Parametern durch:



In der ersten Phase der Modellierung wurde beschlossen, die Existenz planarer Lösungen für das Modellsystem einschließlich des Verhaltens des Grenzzyklus * zu berücksichtigen .
Der Grenzzyklus * ist eine der möglichen Varianten des stationären Zustands des Systems. Der Grenzzyklus eines Vektorfeldes ist eine geschlossene (periodische) Trajektorie eines Vektorfeldes, in dessen Nähe sich keine anderen periodischen Trajektorien befinden.
Das Cauchy-Problem * wurde unter Verwendung der Anfangsbedingungen η (x, 0) = 1 und λ (x, 0) = 0,75 gelöst.
Das Cauchy-Problem * ist die Suche nach einer Lösung für eine Differentialgleichung, die die Anfangsbedingungen (Anfangsdaten) erfüllt.
Eine ebene Welle schwingt in der Nähe eines Punktes im Phasenraum, an dem die Verarmung der Brennverstärkung und die Wiederherstellung der Injektionsverstärkung zusammenfallen [βλ = (1 - λ) ω (η)], vorausgesetzt, die Eingangsenergie ist ausgeglichen, die Energie weicht ab und die Energie geht verloren [ξ = (1 - λ) )) ω (η) q 0 ].

Schwingungen mit niedriger Energie dämpfen zu einer flachen Deflagrationsfront ohne Schwingungen.

Pulsierende Fronten, ähnlich denen, die in früheren Experimenten beobachtet wurden, sind durch periodische "Aktivierung" und "Deaktivierung" der Injektoren gekennzeichnet, die zuerst mit der Freisetzung von Wärme in Resonanz stehen und dann mit Verlustmechanismen gesättigt sind. Ein Beispiel für eine pulsierende ebene Wellenfront ist bei 6d dargestellt .

Die pulsierenden ebenen Wellenlösungen des vollständigen Modells sind für planare Anfangsbedingungen stabil, jedoch gegenüber Störungen instabil, da sie sich zu wandernden Detonationswellen entwickeln.

Die Anfangsbedingungen des Cauchy-Problems für eine Wanderwelle waren: η (x, 0) = (3/2) sech 2 (x - x 0 ) und λ (x, 0) = 0 und λ (x, 0) = 0.

Die Chapman-Jouguet-Geschwindigkeit (CJ) wurde für dieses System bestimmt (eine nichtviskose stabile Welle, bei der die gesamte Energie in einer unendlich dünnen Reaktion in die Welle übertragen wurde Zone). Diese konstante Wellengeschwindigkeit ist definiert als die minimale Geschwindigkeit, die die Rankin-Hugoniot * -Bedingungen für eine gegebene Wärmefreisetzung erfüllt . In Abwesenheit von Verlusten ist diese Mindestgeschwindigkeit gleich DCJ = (η 1 + q 0) + √ q 0 (q 0 + 2η 1 ). Im Fall η 1 = 0 wird die Wellengeschwindigkeit gleich 2q 0 .
Das Rankin-Hugoniot-Adiabat * ist eine mathematische Beziehung, die thermodynamische Größen vor und nach einer Stoßwelle in Beziehung setzt.
Diese Geschwindigkeit ist die Metrik, mit der Wanderwellen im betrachteten Modell gemessen werden.


Bild Nr. 8

Das obige Bild zeigt die Entwicklung der experimentellen Standardmodellierung. Da der anfängliche sech-Impuls viel höher als ηc ist, gibt das Medium lokal und schnell Wärme ab. Die Welle wird "schärfer" und bildet eine Detonation. Dieser anfängliche Impuls breitet sich mit einer Geschwindigkeit CJ aus, bis er seinen Schwanz erreicht, und in diesem Moment beginnt sich die Welle schnell aufzulösen und zu verlangsamen: Eine begrenzte Verbrennungsmenge kann die Welle bei DCJ = 2q 0 nicht weiter unterstützen . Zusätzlich führt die schnelle Wärmefreisetzung (verglichen mit der Zeitskala der Energiestreuung) der Anfangswelle CJ zu einer Erhöhung des Durchschnittswerts von η in dem Bereich, der den Wert von η 0 signifikant überschreitetUmwelt- und η c -Zündwert.

Somit nimmt die effektive Aktivierungsenergie des aktiven Mediums ab und die parasitäre Verpuffung oder langsame Wärmeerzeugung, die nicht mit Wanderwellen zusammenhängt, nimmt in der gesamten Region zu. Da die Ausbreitungszeit der anfänglichen Wanderwelle aufgrund von Streuung erhöht wurde, hat die parasitäre Deflagration genügend Zeit, um den Prozess der Deflagration-Detonation (DDT, d. H. Deflagration-Detonation ) und die Bildung vieler Detonationswellen mit einer kleineren Amplitude abzuschließen.

Um einen Modusübergangsprozess zu induzieren, wenn ein stabiler Moduszustand vorliegt, wurde eine Schrittänderung in s verwendet , die eine Bifurkation verursachte. Ein Beispiel für einen solchen Übergang ist in 4b gezeigt ., wo die beiden anfänglich rotierenden Detonationswellen mit Modenkopplung instabil werden und sich destruktiv teilen.

Die Phasendifferenzen mit niedriger Amplitude nehmen exponentiell zu, was auch während der Experimente beobachtet wurde ( 4a ). Während der Schwingungsperiode tauschen zwei Wellen Kraft (Amplitude) und Geschwindigkeit aus. Für eine gegebene Injektionsfunktion & bgr; und Verluste werden die Instabilitätswachstumsrate und die Oszillationsperiode durch den Grad des angewendeten Schritts beim Ändern der Parameter s und & eegr; p parametrisiert .

Wenn eine neue Welle erzeugt oder die vorhandene zerstört wird, wirkt der Satz von Wellen in der Testkammer dispersiv und bildet schließlich einen Zustand mit Modensynchronisation.


Bild Nr. 9

Oben sind Bifurkationsdiagramme dargestellt, die die Abhängigkeit der Anzahl der Wellen, der Wellengeschwindigkeit und der Wellenamplitude von s und des Verlustwerts zeigen. Mit zunehmendem s von Null werden stabile flache Deflagrationsfronten für kleine Werte gebildet. Sobald der Wert von s zur Bildung einer Wanderwelle beitragen kann, zeigen die Wellen Treppen, bei denen ihre Geschwindigkeit allmählich zunimmt, bis eine weitere Gabelung auftritt. Diese Wellen resultieren aus einer parasitären Verpuffung während des DDT-Prozesses. Mit jeder Gabelung nimmt mit zunehmender Anzahl von Wellen die Wellengeschwindigkeit ab. Wenn der Wert von s ausreichend groß wird, nimmt die Anzahl der Wellen zu, bis die Wellenfronten eine kleine Amplitude haben und zu einer planaren Deflagrationsfront verschmelzen.

Um die Nuancen der Studie genauer kennenzulernen, empfehle ich Ihnen, den Bericht von Wissenschaftlern zu lesen .

Epilog


Raumfahrzeuge sind unglaublich komplexe Mechanismen, die das Wissen vieler wissenschaftlicher Bereiche, Physik, Chemie, Mathematik, Mechanik usw. kombinieren. Gegenwärtig verwenden die verwendeten Raketentriebwerke eine ganze Reihe von Steuerungsmechanismen und steuern die Verbrennungsreaktion, so dass sie erfolgreich die Bewegung eines Multitonnen-Kolosses liefern können, der versucht, den Boden abzunehmen. Im Falle eines Rotationsmotors werden die meisten Verantwortlichkeiten in diesem Bereich von der Stoßwelle übernommen. Dies reduziert den Kraftstoffverbrauch erheblich (da eine ungefähre Schätzung der Detonationseffizienz ~ 25% höher ist als die der klassischen Deflagration), gibt es jedoch eine Reihe von Problemen. Das Hauptproblem ist die Instabilität solcher Wellen. Wie die Wissenschaftler selbst sagen, ist jede Detonation ein unkontrollierter Prozess, der nach Belieben abläuft.

Um diesen chaotischen Prozess zu verstehen, haben die Wissenschaftler auf den ersten Blick ein mathematisches Modell erstellt. Das Modell basierte auf praktischen Experimenten mit dem Motor, deren Dauer nur eine halbe Sekunde betrug, aber dies reichte aus, um die für die Bildung des Modells erforderlichen Daten zu erhalten.

Forscher sagen, dass ihr Modell das erste seiner Art ist. Es macht es möglich zu verstehen, ob dieser Motortyp stabil funktioniert oder nicht, und den Betrieb eines bestimmten Motors zu bewerten, der während des praktischen Teils der Experimente verwendet wird.

Mit anderen Worten, das Modell zeigt Karten darüber, welche physischen Prozesse während des Systembetriebs ablaufen. In Zukunft wollen Wissenschaftler ihre Kreation verbessern, damit bereits bestimmte Aspekte bestimmt werden können, die besondere Aufmerksamkeit erfordern, um einen funktionierenden und stabilen Rotationsmotor zu implementieren.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit, bleiben Sie neugierig und haben Sie eine gute Arbeitswoche, Jungs. :) :)

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