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Mathematiker haben das universelle Gesetz der Turbulenzen bewiesen

Drei Mathematiker haben mithilfe zufälliger Prozesse das elegante Gesetz bewiesen, das der chaotischen Bewegung turbulenter Systeme zugrunde liegt




Stellen Sie sich einen ruhigen Fluss vor. Stellen Sie sich nun einen schnellen Strom schäumenden Wassers vor. Was ist der Unterschied zwischen ihnen? Für Mathematiker und Physiker besteht es darin, dass ein ruhiger Fluss in eine Richtung fließt und ein stürmischer Strom gleichzeitig in mehrere Richtungen fließt.

Physikalische Systeme mit einer solchen unsystematischen Bewegung werden als turbulent bezeichnet . Aufgrund der Tatsache, dass ihre Bewegung gleichzeitig so viele Eigenschaften aufweist, ist es sehr schwierig, sie mathematisch zu untersuchen. Mehr als eine Generation von Mathematikern wird sich ändern, bis die Forscher lernen, einen turbulenten Fluss mit exakten mathematischen Ausdrücken zu beschreiben.

Jedoch neue Beweisesagt, dass einige turbulente Systeme zwar rebellisch erscheinen, aber tatsächlich einem universellen Gesetz gehorchen. Dieses Papier bietet eine der strengsten Beschreibungen von Turbulenzen, die jemals von der Mathematik gegeben wurden. Und es scheint dank einer neuen Reihe von Methoden, die den Prozess der Forscher, die dieses bisher ungehorsame Phänomen untersuchen, von sich aus verändern.

"Vielleicht ist dies der vielversprechendste Ansatz für Turbulenzen", sagte Vladimir Sverak , Mathematiker an der University of Minnesota, Experte für Turbulenzen.

Die neue Arbeit bietet eine Möglichkeit, die Muster zu beschreiben, die bei sich bewegenden Flüssigkeiten auftreten. Sie sind am Beispiel starker Temperaturschwankungen an benachbarten Punkten der Ozeane oder faszinierender Bilder, die durch Mischen von Schwarz- und Weißfarben erhalten wurden, deutlich zu erkennen. 1959 sagte der australische Mathematiker George Batchelor voraus, dass diese Muster ein genaues und reguliertes Verhalten aufweisen. Neue Beweise bestätigen die Wahrheit des „Batchelorschen Gesetzes“, wie diese Vorhersage genannt wurde.

"Batchelors Gesetz ist überall zu sehen", sagte Jacob Bedrossian, Mathematiker an der University of Maryland im College Park, Co-Autor des Beweises mit Alex Blumenthal und Samuel Panshon Smith . "Durch den Nachweis dieses Gesetzes konnten wir seine Universalität besser verwirklichen."

Turbulenzen von oben nach unten


Und obwohl die neuen Erkenntnisse nicht genau dieselben Prozesse beschreiben, die im turbulenten Flusslauf ablaufen, sind sie eng mit ihnen verbunden und uns recht vertraut. Stellen wir sie uns daher zunächst vor, bevor wir uns der speziellen Art von Turbulenzen zuwenden, die Mathematiker analysiert haben.

Stellen Sie sich ein Spülbecken voller Wasser vor. Wasser beginnt sich in der Spüle fast als einzelne Masse zu drehen. Wenn wir die Flüssigkeit erhöhen und ihre Geschwindigkeit in kleinerem Maßstab messen, werden wir dasselbe sehen - jeder mikroskopische Teil der Flüssigkeit bewegt sich entsprechend den anderen.

"Die Bewegung ist größtenteils an die Größe der gesamten Muschel gebunden", sagte Blumenthal, ein Postdoc von der University of Maryland im College Park.


Alex Blumenthal, ein Postdoc vom Maryland University College Park

Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten das Wasser nicht nur durch Herausziehen des Korkens ablaufen lassen, sondern auch Wasserstrahlen in die Spüle gegeben und sie wie in einem Whirlpool gedreht. Mit bloßem Auge können Sie viele Strudel fangen, die im Wasser erscheinen. Wählen Sie eine davon und erhöhen Sie die Skalierung. Wenn Sie ein Mathematiker wären, der versucht, turbulente Schalenströmungen zu analysieren, könnten Sie hoffen, dass sich jedes Wasserteilchen im ausgewählten Whirlpool in die gleiche Richtung bewegt. Dies würde die Fluidmodellierungsarbeit erheblich erleichtern.

Aber leider werden Sie feststellen, dass der Whirlpool selbst aus vielen kleinen Whirlpools besteht, von denen sich jeder auf besondere Weise bewegt. Wenn Sie das Bild vergrößern, werden Sie wieder sehen, dass es wiederum aus verschiedenen Whirlpools usw. im kleinsten Maßstab besteht, bis die Auswirkungen der inneren Reibung (oder Viskosität) der Flüssigkeit die Strömungen aufnehmen und glätten.

Dies ist ein deutliches Zeichen für turbulente Systeme - unterschiedliches Verhalten von ineinander eingebetteten Subsystemen in unterschiedlichen Maßstäben. Um die Bewegung eines turbulenten Systems vollständig zu beschreiben, muss beschrieben werden, was zu einem bestimmten Zeitpunkt auf all diesen Skalen geschieht. Keiner von ihnen kann ignoriert werden.

Dies ist eine ernsthafte Anforderung - es ähnelt der Modellierung der Bewegungsbahnen von Billardkugeln, wobei absolut alles berücksichtigt wird, von der Bewegung der Erde durch die Galaxie bis zur Wechselwirkung von Gasmolekülen mit Kugeln.

"Ich musste alles auf einmal berücksichtigen, was die Modellierung dieser Aufgabe so unglaublich schwierig macht", sagte Jean-Luc Tiffo von der University of Wisconsin, der Turbulenzen untersucht.

Infolgedessen versuchen Mathematiker seit Jahrzehnten, eine Beschreibung der Turbulenzen zu erstellen, die genau beschreibt, was zu jedem Zeitpunkt an jedem Punkt des turbulenten Systems geschieht. Und hat es nicht geschafft.

"Turbulenzen sind zu komplex, um sie in der Stirn anzugreifen", sagte Tiffo. Dies gilt für turbulente Flüsse und Senken mit austretender Flüssigkeit. Dies gilt auch für die spezielle Version der Turbulenzen, die im neuen Proof verwendet werden.

Rühren


Muschel und Fluss sind Beispiele für hydrodynamische Turbulenzen. Sie sind insofern turbulent, als die Vektoren der Flüssigkeitsgeschwindigkeit - die Richtungen und Geschwindigkeiten der Partikel - von Punkt zu Punkt stark variieren. Die neue Arbeit beschreibt andere Eigenschaften der Flüssigkeit außer den Geschwindigkeitsvektoren, die an jedem ihrer Punkte gemessen werden können. Stellen Sie sich eine Farbmischung vor, um zu verstehen, was dies bedeutet.

Beginnen wir mit einer Dose weißer Farbe. Wir werden einen Tropfen pro Sekunde schwarz hinzufügen und die Farbe umrühren. Der erste Tropfen fällt in weiße Farbe und fällt wie eine Insel auf. Aber bald wird es sich in weißer Farbe auflösen und sich in immer dünnere Linien ausdehnen. Nachfolgende Tropfen schwarzer Farbe befinden sich in verschiedenen Stadien derselben Umwandlung: Dehnen, verlängern, in die Farbe gießen, die allmählich grau wird.

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Wenn sich die Geschwindigkeitsvektoren in der Spüle, in der das Wasser gemischt wird, von Punkt zu Punkt ändern, ändert sich die Konzentration von schwarzer Farbe in Weiß von Punkt zu Punkt beim Mischen: in einigen Fällen stellenweise ist seine Konzentration größer (dickere Linien), an einigen weniger.

Diese Option ist ein Beispiel für „passive skalare Turbulenzen“. Es tritt auf, wenn eine Flüssigkeit, ein „passiver Skalar“, injiziert wird und Milch in Kaffee hinzugefügt wird, schwarze Farbe in Weiß.

Passive skalare Turbulenzen beschreiben auch viele natürliche Phänomene - plötzliche Temperaturänderungen zwischen nahen Punkten des Ozeans. In einer solchen Umgebung „mischen“ Meeresströmungen die Temperaturen auf die gleiche Weise wie die Farben Schwarz und Weiß.

Das Batchelor'sche Gesetz sagt das Verhältnis der Anzahl großräumiger Phänomene (dicke Farbwirbel oder Ströme von Meerwasser gleicher Temperatur) zur Anzahl der Phänomene in kleineren Maßstäben (dünne Farblinien) beim Mischen von Flüssigkeiten voraus. Es wird Gesetz genannt, weil Physiker dieses Phänomen seit vielen Jahren in Experimenten beobachten.

"Aus physikalischer Sicht reicht dies aus, um es als Gesetz zu bezeichnen", sagte Panshon Smith, Mathematiker an der Brown University. Vor dieser Arbeit gab es jedoch keinen mathematischen Beweis für ihre unverzichtbare Leistung.


Das Batchelor'sche Gesetz sagt das Verhältnis der Anzahl großräumiger Phänomene (dicke Farbwirbel oder Ströme von Meerwasser gleicher Temperatur) zur Anzahl der Phänomene in kleineren Maßstäben (dünne Farblinien) beim Mischen von Flüssigkeiten voraus. Dieses Verhältnis bleibt beim Herauszoomen unverändert, da kleine Nistpuppen die Proportionen groß halten.

Um die Idee von Batchelor zu verwirklichen, zurück zur Farbe. Stellen Sie sich vor, Sie setzen dieses Experiment eine Weile fort, indem Sie Tropfen schwarzer Farbe hinzufügen und umrühren. Jetzt hör auf die Zeit. Sie werden dicke Streifen schwarzer Farbe sehen (sie wurde am wenigsten geknetet), dünnere Streifen (sie wurden länger geknetet) und noch dünner (sie wurden noch länger geknetet).

Das Batchelor'sche Gesetz sagt voraus, dass die Anzahl der dicken, dünneren und sehr dünnen Streifen dem genauen Verhältnis entspricht - so etwas wie Puppen gehorchen den gleichen Verhältnissen.

"In einem bestimmten Flüssigkeitsfragment sind Streifen unterschiedlicher Schuppen sichtbar, da sich ein Teil der Tröpfchen gerade erst zu vermischen beginnt und einige schon seit einiger Zeit vermischt sind", sagte Blumenthal. "Das Batchelor'sche Gesetz beschreibt die Größenverteilung von schwarzen Farbstreifen." Es ist schwierig, das genaue Verhältnis auf den Punkt zu bringen, aber es werden mehr dünne Streifen als dicke und eine bestimmte Anzahl von Malen erhalten.

Das Gesetz sagt voraus, dass der Anteil auch dann erhalten bleibt, wenn Sie das Flüssigkeitsfragment mit zunehmender Größe betrachten. Streifen unterschiedlicher Dicke, sowohl in einem kleinen Flüssigkeitsbereich als auch in der gesamten Bank, haben genau das gleiche Mengenverhältnis; Beim Herauszoomen sehen wir das gleiche Verhältnis. Das Muster ist auf allen Skalen das gleiche wie bei hydrodynamischen Turbulenzen, bei denen in jedem Whirlpool kleine Whirlpools vorhanden sind.

Eine ziemlich kühne Vorhersage, die außerdem schwer mathematisch zu modellieren ist. Die komplexe Verschachtelung von Phänomenen in verschiedenen Maßstäben macht es unmöglich, das Auftreten des Batchelorschen Gesetzes in einem einzigen Flüssigkeitsstrom genau zu beschreiben.

Die Autoren der Arbeit haben jedoch herausgefunden, wie sie diese Komplexität umgehen und beweisen können.

Zufälliger Ansatz


Bedrossian, Blumenthal und Punchon Smith haben einen Ansatz gewählt, der das durchschnittliche Verhalten von Flüssigkeiten in allen turbulenten Systemen berücksichtigt. Mathematiker haben diese Strategie schon einmal ausprobiert, aber niemand hat sie erfolgreich umgesetzt.

Dieser Ansatz funktioniert, weil Zufälligkeit manchmal genaue Vorhersagen des Systemverhaltens ermöglicht. Stellen Sie sich ein vertikales Brett mit Nägeln vor. Lassen Sie eine Münze von oben darauf fallen, und sie wird von den Nägeln abprallen, bis sie auf einen der Schlitze darunter trifft. Es ist schwer vorherzusagen, wo eine bestimmte Münze fallen wird - zu viele Faktoren beeinflussen, wo sie nach jeder Kollision abprallt.


Samuel Punchon Smith

Stattdessen können Sie das System als zufällig betrachten - und dass für jeden Nagel die Möglichkeit besteht, dass die Münze nach rechts und links springt. Wenn die Wahrscheinlichkeiten korrekt berechnet werden, können genaue Vorhersagen über das Verhalten des Gesamtsystems getroffen werden. Beispielsweise stellen Sie möglicherweise fest, dass Münzen eher in bestimmte Slots fallen.

"Was mit Zufälligkeit gut ist, ist die Fähigkeit zur Mittelwertbildung", sagte Tiffo. "Mittelwertbildung ist eine sehr zuverlässige Idee, da viele kleine Details sie nicht berühren."

Was bedeutet das für Turbulenzen und Farbmischungen? Da genaue und deterministische Aussagen den Rahmen der Mathematik sprengen, wäre es sinnvoller, sich vorzustellen, dass bestimmte zufällige Kräfte auf die Farbe wirken - manchmal stören sie hier, manchmal dort, ohne Regelmäßigkeit. Dieser Ansatz wird als zufällig oder stochastisch bezeichnet. Es ermöglicht Mathematikern, statistische Berechnungen auf hoher Ebene zu verwenden und zu untersuchen, was in den Gesamtsystemen geschieht, ohne sich in die Einzelheiten jedes Details zu vergraben.

"Ein bisschen Zufall ermöglicht es uns, Schwierigkeiten zu überwinden", sagte Punchon Smith.

Dies ermöglichte es schließlich drei Mathematikern, Batchelors Gesetz zu beweisen.

Mix verstehen


Eine Möglichkeit, ein physikalisches Gesetz zu beweisen, besteht darin, sich die Bedingungen vorzustellen, die es ungültig machen würden. Wenn nachgewiesen werden kann, dass solche Bedingungen nicht vorliegen, wird bewiesen, dass das Gesetz immer funktioniert. Das Team erkannte, dass das Kneten sehr spezifische Eigenschaften haben muss, um die durch Batchelors Gesetz vorhergesagten Gesetze zu vermeiden.

Der Beweis des Gesetzes ist in vier Werke unterteilt, die zwischen September 2018 und November 2019 online veröffentlicht wurden. Die ersten drei konzentrierten sich auf das Verständnis bestimmter Bewegungen der gemischten Farbe, die es Batchelors Gesetz nicht ermöglichen würden, solche Bewegungen auszuarbeiten und auszuschließen. Sie haben bewiesen, dass selbst wenn Sie eine Flüssigkeit nehmen würden, die speziell entwickelt wurde, um Batchelors Gesetz zu besiegen, das Muster darin erscheinen würde.

"Die Hauptsache, die Sie verstehen müssen, ist, dass die Flüssigkeit nichts gegen Sie denken kann", sagte Bedrossian.


Jacob Bedrossian

Zum Beispiel würde das Batchelor-Gesetz nicht funktionieren, wenn der Mischprozess zu anhaltenden Strudeln oder Trichtern in der Farbe führen würde. Solche Trichter würden einige Tropfen schwarzer Farbe an einer Stelle halten - wie Trümmer am Rand des Baches - und die Farbe würde sich nicht vermischen.

„In einem solchen Whirlpool werden die Partikelpfade nicht chaotisch sein. Sie trennen sich nicht schnell, sondern drehen sich alle zusammen “, sagte Bedrossian. "Wenn Ihr System Farbe nicht mit der richtigen Geschwindigkeit mischt, wird sich das Batchelor-Gesetz nicht manifestieren."

In der ersten Arbeit konzentrierten sich die Mathematiker darauf, was während des Mischvorgangs mit zwei Punkten schwarzer Tinte passiert, die ursprünglich nebeneinander lagen. Sie haben bewiesen, dass Punkte zufälligen Pfaden folgen und in verschiedene Richtungen divergieren. Mit anderen Worten, eng beieinander liegende Punkte können nicht in einem Whirlpool stecken bleiben, der sie die ganze Zeit zusammenhält.

"Anfangs bewegen sich Partikel zusammen", sagte Blumenthal, "aber am Ende trennen sie sich und divergieren in völlig unterschiedliche Richtungen."

Im zweiten und dritten Werk haben sie sich eingehender mit dem Mischprozess befasst. Sie haben bewiesen, dass sich in einer chaotischen Flüssigkeit im Allgemeinen Schwarz-Weiß-Farben so schnell wie möglich mischen. Dann stellten sie fest, dass sich in der turbulenten Flüssigkeit keine lokalen Unvollkommenheiten (Whirlpools) bilden würden, die das Erscheinungsbild eines eleganten globalen Bildes beeinträchtigen könnten, das durch das Batchelorsche Gesetz beschrieben wird.

In den ersten drei Arbeiten führten die Autoren die komplexen mathematischen Berechnungen durch, die erforderlich sind, um zu beweisen, dass sich die Farbe gründlich und zufällig mischt. Im vierten zeigten sie, dass in einer Flüssigkeit mit solchen Mischeigenschaften das Batchelorsche Gesetz als notwendige Konsequenz auftritt.

Dies ist eine der stärksten mathematisch strengen Aussagen zu turbulenten Systemen. Noch wichtiger ist, dass es uns Möglichkeiten für einen neuen Strom mathematischer Ideen bietet. Turbulenzen sind ein chaotisches Phänomen, dessen Bewegung fast zufällig ist. Drei Mathematiker fanden heraus, wie man mit Zufälligkeit umgeht. Andere Spezialisten auf diesem Gebiet werden ihnen mit ziemlicher Sicherheit folgen.

"Ihr größter Beitrag besteht darin, uns eine Plattform zur Verfügung zu stellen, auf der wir Beweise aufbauen können", sagte Tiffo. "Ich denke, der Zufall ist eine der wenigen Möglichkeiten, ein Turbulenzmodell zu erstellen, das wir mathematisch verstehen können."

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