Hallo Habr! Ich präsentiere Ihnen die Übersetzung des Artikels "Math Origins: The Logical Ideas" von Erik R. Tou (Universität von Washington Tacoma).

Von einem Übersetzer:

Eine Reihe von Artikeln über die Ursprünge der Mathematik im Allgemeinen und der Notation im Besonderen wurde im Journal der Mathematical Association of America veröffentlicht. Die letzten beiden der fünf bisher veröffentlichten Artikel schienen mir am interessantesten zu sein, daher veröffentliche ich eine Übersetzung des ersten - „Math Origins: The Logical Ideas“.

Sobald ein Mathematikstudent sich mit mathematischer Analyse und Statistik befasst, wird der logische Überbau der Mathematik offensichtlich. Dies kann sich in Form offensichtlicher Fragen oder zumindest in einem gewissen Unbehagen hinsichtlich der angeblichen Zuverlässigkeit mathematischer Wahrheiten äußern. Wie können wir uns der Richtigkeit klassischer Ergebnisse sicher sein - wie des Lagrange-Theorems oder des zentralen Grenzwertsatzes? Dies ist der Punkt, an dem viele Bachelor-Studiengänge in Mathematik beginnen, einen Kurs in mathematischer Logik und Denken aufzunehmen.

Nach eigenen Erfahrungen des Autors [ Eric Tou - ca. trans.] beinhaltet dies normalerweise eine Änderung der Reihenfolge der Ideen, von der bei der Lösung von Problemen üblichen „Reihenfolge der Entdeckungen“ zur „Reihenfolge der Logik“, die die Grundlage für mathematische Beweise bildet. Es wird schnell klar, dass eine neue Terminologie und Notation erforderlich ist, um die betrachteten mathematischen Aussagen und logischen Beziehungen zu beleuchten. Konzepte wie Konjunktion und Disjunktion, Implikation und Äquivalenz, Universalität und Existentialität müssen sorgfältig getrennt werden. Die Theorie der Logik und ihre inhärente Notation werden heute untrennbar miteinander verbunden: Eine existiert nicht unabhängig von der anderen. Dies war jedoch nicht immer der Fall! In diesem Artikel werden wir einige frühe Versuche betrachten, eine Logiktheorie systematisch zu organisieren, zusammen mit mehreren Entscheidungen, die in Bezug auf die Notation getroffen wurden. Wir werden sehen,dass die Autoren des 17. und 18. Jahrhunderts im Wesentlichen daran interessiert waren, eine Denkweise über Logik zu beschreiben, gewöhnlich durch eine Analogie zu bereits existierenden mathematischen oder philosophischen Konzepten. Im nächsten Artikel dieser Reihe werden wir die Erzählung im 19. und 20. Jahrhundert fortsetzen, um die vielen zur Beschreibung der Logik vorgeschlagenen Notationssysteme zu untersuchen.

, . «$$$\therefore$» «», . , , . 1659- «Teutsche Algebra» (« ») , . . :

. 1. «Teutsche Algebra» $$$\therefore$«» $$$\ast$. Google Books , .

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; 20 , .

. 2. «Teutsche Algebra» . Google Books , .

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- , , , , , . ( — , ). , , , . , , : , . , . « », :

1. , ;
2. , ;
3. , .

1666 , «Dissertatio de Arte Combinatoria» (« ») [Lei]. , , (1) -, (2) «» ( ) . , .

, , . , . 1679 , -, , . , «Regulæ ex quibus de bonitate consquentiarum formisque et modis syllogismorum categoryoricorum judicari potest per per numberros» («, , »). « » :

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. -, , . , , « , , ; ». «» «» «», «». [Tho, . 20], - . -, . . , . , . , « » , .

: «Algebræ Philosophicæ»

1761 , «Algebræ philosophicæ in usum artis inveniendi» (« , ») . , .

3. «Algebræ Philosphicæ» (1761). Archive.org , , .

, . , , $$$\omega$, , , . : , , , , . , (aliquid) (nihil) ($$$\cup$) ($$$\cap$), . , .

. 4. «Algebræ Philosphicæ» (1761). Archive.org , , London.

— , , ! , :

• (, $$$\omega$), (, $$$\omega$);
• ($$$\omega$), (, ), (, );

, , , , . , (), (). «Algebræ Philosphicæ» 16 , . , ! : «Dissertatio de Arte Combinatoria». , , - «Algebræ Philosphicæ».

Zeichenkunst in der Vernunftlehre

, , 1782 «Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre» (« »). 5:

. 5. «Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre» (1782). Google Books , .

, , . , ; , ($$$=$), ($$$+$), ($$$-$), ($$$\times$), ($$$>$) ($$$<$). , . , . ( , ).

, [Lam, . 11]. $$$a$$$$b$, $$$ab$, , , $$$a-ab$$$$a$, $$$b$. , «eigene Merkmale», « », «eigen-» . , $$$b-ab$$$$b$, $$$a$. , $$$a+b-ab-ab$$$$a$$$$b$, , . , , $$$+$, ( ) $$$a$$$$b$. , , $$$a∣b$$$$a$, $$$b$, . $$$a∣b + b∣a + ab + ab = a + b$, , $$$a$$$$b$, $$$a$$$$b$.

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, ! 60 , « » ( « ») , . 1847 , , , «» «» « » . , «» , .

. 6. « » (1847). Archive.org , .

, «» « » . « », , . , 19- 20- , « » . , , . !

[Caj] Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations, Volume II. Chicago: Open Court Publishing Co., 1928.

[DeM] De Morgan, Augustus. Formal Logic: or, the Calculus of Inference, Necessary and Probable. London: Taylor and Walton, 1847.

[Lam] Lambert, Johann. Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre. Berlin, 1782.

[Lei] Leibniz, Gottfried Wilhelm, Dissertatio de arte combinatoria. Leipzig, 1666. «Philosophical Papers and Letters» (Leroy E. Loemker, , 2- ) 1969 . « ».

[Par] Parkinson, G. H. R., ed. Leibniz Logical Papers. Oxford: Clarendon Press, 1966. .

[Rah] Rahn, Johann. Teutsche Algebra . Zürich: JJ Bodmer, 1659.

[Ric] Richeri, Ludovico. "Algebrae philosophicae in usum artis inveniendi . " Melanges de philosophie et de la mathématique de la société royale de Turin . 1 (1760-61), 46-63.

[Tho] Thomson, Garrett. Auf Leibniz. Stamford, CT: Thomson Learning, 2001.