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Ein Modell einer natürlichen Zahlenreihe und ihrer Elemente. Mehrzeilige Zellen




In einer anderen Arbeit aus einer Reihe von Artikeln über die natürliche Zahlenreihe (NRF) werden die Konzepte und die Notation G 2 ± verwendet - das NRF-Modell in Form einer diskreten (aus Zellen mit Koordinaten (x1, xo)) unendlichen Ebene ( siehe hier ), in der das Komposit gerade oder ist Die ungerade natürliche Zahl (VLF) in jeder Zelle des Modells wird durch die Beziehung N = x1 2 ± xo 2 beschrieben . Wir betrachten eine weitere wichtige Eigenschaft der natürlichen Zahlenreihe, die Vielzahl der Modellzellen, für das RSA-Verschlüsselungsmodul, das für die Lösung des Problems der Faktorisierung großer Zahlen (ZFBCH) wichtig ist.

Über algebraische Ringe und die RSA-Chiffre


Die Chiffre RSA und dergleichen basiert im Wesentlichen auf einer strengen mathematischen Konstruktion - einem endlichen numerischen Restring (KCHKV) modulo einer zusammengesetzten Zahl N = dmdb, wobei dm ein kleinerer Primteiler ist, db ein größerer Teiler.

Die Anforderung für den Schlüssel (insbesondere für das N-Modul) der Chiffre besteht darin, dass beide Teiler Primzahlen mit sehr hoher Kapazität (bis zu 300 Dezimalstellen) sein müssen. siehe hier

Eine weitere wichtige Anforderung für einen Chiffrierschlüssel ist die Anforderung für die Differenz der Teiler
| db - dm | = Δ. Es sollte die gleiche hohe Kapazität haben wie die Teiler selbst. Ein einfaches Beispiel für die KPKV ist das Anfangsfragment einer natürlichen Zahlenreihe mit einem Nullelement. Alle Zahlen in einer Reihe bilden einen Ring von 0 bis N - 1. Weitere Einzelheiten zu Ringen finden Sie in Lehrbüchern zur höheren Algebra.

Der Widerstand der RSA-Verschlüsselung gegen die Offenlegung von Schlüsseln wird als sehr hoch eingeschätzt, und alle Bemühungen von Kryptoanalytikern auf der Welt, die Verschlüsselung seit ihrer Veröffentlichung (1978) zu knacken, waren bisher nicht erfolgreich. Es gibt eine Reihe von Gründen für diese Situation.

Die veröffentlichten Algorithmen zur Implementierung von Angriffen auf die Chiffre basieren auf dem Konzept eines numerischen Siebs, das Eratosthenes vor der neuen Ära vorgeschlagen hat. Mit jeder neuen Veröffentlichung sehen wir eine leicht verbesserte, verbesserte Version des Algorithmus, aber anscheinend reichen diese Verbesserungen nicht aus, um erfolgreich zu sein. Die Idee des Siebsosthenes [1] war zu seiner Zeit fortschrittlich, aber jetzt funktioniert es nicht mehr.

Im Internet gibt es eine Liste von RSA-Nummern, zu deren Faktorisierung das Unternehmen aufgefordert wird. Die Liste wurde 1991 veröffentlicht und ist bei weitem nicht vollständig. Eine Analyse der Ergebnisse der multiplikativen Zerlegung von Zahlen aus der Liste ist verfügbar, da die Zahlen selbst für alle offen sind.

Aus der Analyse folgt, dass je mehr Ziffern in der Beschreibung der Zahl enthalten sind, desto mehr Zeit für ihre Zerlegung benötigt wurde. Die Schlussfolgerung ist, dass die Zerlegung des Moduls N Algorithmen verwendet, die sehr empfindlich auf die Kapazität von Zahlen reagieren, dh die Algorithmen verwenden die Eigenschaften von Zahlen, die sehr stark von ihrer Kapazität abhängen. Ich meine Eigenschaften wie die "Zeichen der Teilbarkeit" von Zahlen. Sie hängen praktisch nicht von der Bittiefe der faktorisierbaren Zahl ab ( siehe hier ).

Veröffentlichte Werke beschränken sich in der Regel auf die Verarbeitung der Nummer selbst, wobei ihre Umgebung, die Eigenschaften von nahen und entfernten Nachbarn innerhalb eines bestimmten Zahlensystems ignoriert werden. Sehr große Hoffnungen der Autoren und Erwartungen werden neuen Computergeräten zugeschrieben: Quanten, Photonen, Moleküle und dergleichen.

Autoren von Veröffentlichungen und Eigentümer des Unternehmens, d.h. Verschlüsselungsalgorithmen leugnen andere neue Ansätze nicht und schließen nicht die Möglichkeit aus, neue Algorithmen auf der Grundlage neuer Ideen zu erstellen, für die die Aufgabe der Faktorisierung großer Zahlen nicht bestehen wird und deren Lösung erfolgreich sein wird. Ich als Autor dieser Veröffentlichung bin von neuen Originalentwicklungen auf dem Gebiet der Lösung des HFBCH angezogen.

Die meisten meiner Veröffentlichungen widmen sich nur neuen Ansätzen, angefangen bei der Synthese von Modellen der natürlichen Zahlenreihe über die Untersuchung ihrer Eigenschaften bis hin zur Verwendung dieser Eigenschaften bei der Entwicklung neuer Originalalgorithmen zur Lösung des ZFBCH. In dieser Richtung wurde in NRCH RDA die (offene) Verteilungsgesetzteiler (RDA) Nummer N eingerichtet .

Vertikale (Spalten) G 2 ± - NRF-Modelle


Ein Beispiel für einen solchen neuen Ansatz ist die Verwendung von Summen von Paaren von quadratischen Zahlen. Diese Zahlen stammen aus dem NRF und müssen die Anforderungen erfüllen: Zwei Zahlen sind benachbart und ihre Summe entspricht der zusammengesetzten Zahl N, die wir faktorisieren möchten, zwei weitere Zahlen sind Quadrate, die die Gleichung N + x1 2 = xo 2 erfüllen .

Eine weitere Anforderung: Die Summe der Quadrate benachbarter Zahlen der additiven Zerlegung mit den beiden gefundenen Quadraten muss gleiche (übereinstimmende) Werte haben ( siehe hier ). Wenn es möglich ist, die obigen Anforderungen zu erfüllen, ist die Faktorisierung von N garantiert. Beispiel 1 unten veranschaulicht diese Möglichkeit.

Das betrachtete Schema ist originell und unterscheidet sich von dem von L. Euler und anderen Mathematikern vorgeschlagenen in einem einfacheren und transparenteren Verständnis.

Beispiel 1 . ( Summe der Quadrate ). Die zusammengesetzte Zahl N = dmdb = 209723 ist angegeben. Es ist erforderlich, ihre multiplikative Zerlegung zu finden, dh die Werte der Faktoren dm und db.
Lösung . Wir verwenden die Eigenschaften der Quadratsummen in 2+ - dem hyperbolisch-kreisförmigen Modell.

Wir nehmen die Quadratwurzel von N, √209723 = 457.955 = 458 und runden auf eine größere ganze Zahl.
Als nächstes finden wir die Unterschiede der folgenden Quadrate und die Zahl N, indem wir die Gleichheit dieser Differenz mit dem vollen Quadrat überprüfen: 458 2 - 209723 = 41 ≠ ≠, 459 2- 209723 = 958 ≠ ≠, 460 2 - N ≠ ≠,
461 2 - N ≠ ≠,

462 2 - 209723 = 3721 = 61 2 = ▢. Im 5. Schritt ist die gewünschte Differenz gleich dem vollen Quadrat. Wir finden die additive Zerlegung von N = 209723 = sm + sb = 104861 + 104862 in benachbarte Terme. Überprüfen Sie die Gleichheit der Quadratsummen in den Zellen des Modells
N (x11, xo) = N (x11, sm), N (x12, xo2) = N (x12, sb),
wobei sm, sb die Spaltennummern und x11 und x12 die Zeilennummern sind Modelle. Diese Zahlen werden aus den Gleichheitsrelationen der Quadratsummen bestimmt.

sm 2 + 462 2 = 104861 2 + 213444 = 10995829321 + 213444 = 10996042765;
sb 2 + 61 2 = 104862 2 + 3721 = 10996039044 + 3721 = 10996042765. Die Mengen in den Zellen erwiesen sich erwartungsgemäß als gleich.

Für solche Summen schreiben wir die Gleichheit sm 2 + 462 2 = sb 2 + 61 2 und transformieren sie in die Gleichheit der Differenz der Quadrate 462 2 - 61 2 = sb 2 - sm 2 . Rechts ist die Differenz der Quadrate immer gleich N, und die linke Differenz wird in das Produkt
462 2 - umgewandelt.61 2 = (462 - 61) (462 + 61) = 401 · 523 = 209723 = N.

Beide Faktoren sind Primzahlen, d.h. Die Faktorisierung der Zahl N ist erfolgreich abgeschlossen. Der Nachteil dieses Ansatzes ist die Notwendigkeit, die Summe der Quadrate mit übereinstimmenden Werten in benachbarten Spalten des Modells zu finden. Bei großen Stückzahlen ist dies ein ziemlich zeitaufwändiger Vorgang. Im Wesentlichen reduziert sich diese Aufgabe auf die Auswahl eines solchen Quadrats, das, wenn es mit der Zahl N summiert wird, ein größeres Quadrat ergibt.

Horizontal (Reihen) G 2- - Niederfrequenzmodelle


Das Arbeiten mit Zahlen, das Lösen dringender Probleme wie HFBCH oder diskreter Logarithmus legt nahe, dass der Forscher Zahlen irgendwie hier geordnet und klassifiziert hat ( hier ) und nicht blind, nicht zufällig arbeitet, sondern das erwartete Ergebnis basierend auf den Hypothesen über das Ergebnis vorhersagt.

Eine der Eigenschaften der Zeilen (horizontal) des G 2 - NRF-Modells ist die lineare Abhängigkeit der Werte jeder Zelle der nächsten Zeile des Modells von den Werten in den Zellen der vorherigen, die durch einfache Summierung der Werte aus den Zellen der oberen von zwei benachbarten Zeilen mit einem konstanten Wert aus der letzten Zelle der unteren Zeile ausgedrückt wird ist
N (x1, xo) = N (h1-1 ho) + N (x1, x1 - 1), ho läuft, während die gesamte untere Zeile (siehe Tabelle 1) anklickbar ist



Abbildung 1 - Werte, die ein Vielfaches der zusammengesetzten ungeraden Zahlen in den ersten 100 sind (hervorgehoben durch eine Füllung)
Die Abbildung zeigt Zellen, die mit einer Füllung gefüllt sind, deren Zahlen dem Produkt der Zahlen der Diagonalen entsprechen.

Die Besonderheit dieser Zahlen besteht darin, dass die Zahlen der Diagonalen im CCCH-Modulo N, die als Elemente des Rings betrachtet werden, wenn sie angezeigt werden (Quadrieren) und das Ergebnis Modulo ist, die Ringe selbst bleiben (feste Elemente).

Die erste Zahl als Modul ist N = 15. Dafür enthält die Mehrfachzelle das Produkt der Zahlen der Diagonalen 10 · 6 = 60 = 15 · 4 Vielfaches des Moduls mit dem Koeffizienten k = 4. Für die Zahlen der Diagonalen: 6 2 ≡ 6 (mod15); 10 2 ≤ 10 (mod15).

Nehmen Sie die zweite Zahl als Modul N = 35. Dafür enthält die Mehrfachzelle das Produkt der Zahlen der Diagonalen 21 · 15 = 315 = 35 · 9 Vielfaches des Moduls mit einem Koeffizienten k = 9. Für die Zahlen der Diagonalen: 15 2 ≡ 15 (mod35);
21 2 ≤ 21 (mod35). Dies gilt für alle Zahlen N, die zur langen Diagonale D1 gehören, in deren Zeile die multiple N-Zelle durch Füllen angezeigt wird.

Beispiel 2. ( Berechnung einer Mehrfachzelle ). Das zusammengesetzte KChKV-Modul N = 77 wird gesetzt. Gemäß den Eigenschaften 1,2 wird der Wert in der Zelle N (x1 = 39, xo = 17) als die Summe der Werte in der Zelle über dem angegebenen und in der letzten Zelle der Zeile x1 = 39 gleich dem CCFV-Modul berechnet.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39-1) => 1232 = 1155 +77.
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = N (38, 17) + N (39, 39 - 1) = 38 2 - 17 2 + 39 2 - 38 2 => 1232 = 1155 +77.

Andererseits wird der Wert in jeder Zelle einer beliebigen Zeile als Differenz der Quadrate der Koordinaten der Zelle oder als Produkt der Differenz der Koordinaten der Zelle und ihrer Summe
N (x1, xo) = N (x1 = 39, xo = 17) = 39 2 - 17 2 = ( berechnet) 39 - 17) (39 + 17) = 22,56 = 1232 = 16,77.

Es gibt andere weniger offensichtliche Möglichkeiten, den Wert in der Zelle zu berechnen.

Das betrachtete Beispiel ist insofern bemerkenswert, als es eine formalisierte Verbindung des betrachteten Modells mit einem endlichen numerischen Ring von Resten durch das Verbundmodul herstellt.

Es ist bekannt, dass die lange erste Diagonale 2 ± das NRF-Modell ist. enthält in seinen Zellen alle folgenden ungeraden Zahlen in einer Reihe, die als Module zur Reduzierung algebraischer Strukturen betrachtet werden können. Die Strukturen selbst bestehen aus Elementen - natürlichen Zahlen. Wir werden hier nicht auf die Konzepte der höheren Algebra eingehen, sondern nur Fakten angeben, die im Hinblick auf ihre Darstellung im G 2 - - Modell von NRF interessant sind .

Unter allen Elementen der QPCW-Struktur modulo N gibt es eine Menge I = {x}, die als Idempotente bezeichnet werden und deren Quadrate nach der Reduktion (Modulo-Reduktion) ihre Werte beibehaltenx 2 ≤ x (mod N). Solche Elemente werden in der Theorie der Abbildungen als bewegungslos bezeichnet. Ferner werden wir Idempotente mit den Symbolen I1, II, ... bezeichnen.

Eine andere Klasse von Elementen, die Menge H = {x} der QCF, Involutionen genannt, hat die folgende Eigenschaft x 2 ≡ 1 (mod N). Weiterhin werden wir Involutionen mit den Symbolen 1, 2, ... bezeichnen.

Die Rolle solcher Ringelemente ist bei der Lösung angewandter Probleme sehr groß, und hier werden wir einige interessante und nützliche Fakten zur Lösung des HFBC betrachten. Tatsache ist, dass die Theorie der Ringe nicht die Frage beantwortet, welche der Elemente des Rings Idempotente sind, welche Involutionen. Wie man diese Elemente festlegt, wie man ihre Werte für ein gegebenes Modul N des Rings bestimmt.

Es stellt sich heraus, dass Idempotente zusätzlich Elemente sind, die Vielfache verschiedener Teiler des Moduls N sind. Ihr Produktmodulo ist Null, da es ein Vielfaches von N ist, aber die Summe von zwei Idempotenten gleich N + 1 ist. Mit dem idempotenten Wert können wir das Problem lösen, den größten gemeinsamen Faktor (gemeinsam) zu finden sowohl für das Modul als auch für idempotent).

Und von hier aus ist es nicht weit, das Problem der Faktorisierung des Ringmoduls zu lösen, wodurch sichergestellt wird, dass der private Schlüssel der asymmetrischen Verschlüsselung gefunden wird und der Angriff auf eine solche Verschlüsselung erfolgreich ist.

Das betrachtete Beispiel mit einer Zelle mit einem Wert, der ein Vielfaches des Wertes in der Zelle ganz rechts in der Reihe ist (ein Vielfaches der Zelle), hat die Besonderheit, dass das Produkt der Diagonalen im Vielfachen der Zelle das Produkt der Idempotenten des Rings ist.

Faktorisierung von N unter Verwendung von Idempotenten eines endlichen Zahlenrings


VLF N. Faktorisierungsschemata. Verwendung von KPKV-Idempotenten.
Alle ( 1 , ) Zellen 2 - - Modelle sind eindeutig und in Linien kombiniert: horizontal mit Zahlen 1 (sie enthalten Zahlen 1 Zellen), Vertikale mit Zahlen numbers1, Diagonalen: kurz (K) mit Zahlen x1 + xo und lang (D) mit Zahlen x1 - xo.

In jeder Zelle (x1, xo) des Modells schneiden sich Linien der genannten Typen, deren Anzahl durch die Koordinaten der Zelle bestimmt wird. Die Zellen des Modells dürfen keine Zahlen enthalten, sondern nur darstellbare Unterschiede der Quadrate anderer Zahlen (Koordinaten).

Die Horizontale des Modells kann durch die Nummer x1 und die Vertikale durch die Nummer xo festgelegt werden. Jede Zelle enthält die Zahl N (x1, xo) = x1 2 - xo 2. Die letzten horizontalen Zellen bilden eine lange Diagonale D1 und enthalten je nach horizontaler Zahl die Werte

N (x1, x1 - 1) = x1 2 - x1 2 + 2x1–1 = 2x1 - 1

. Die Zellen dieser Diagonale enthalten alle folgenden ungeraden Zahlen in einer Reihe. Für den Zahlenbereich [d1min, d1max], d1min, d1max ∊ D1 definiert die Summe ihrer Werte die additive Form von N.

Beispiel 3 ( Berechnung des kN-Wertes einer Mehrfachzelle als Summe der Elemente eines Fragments der Diagonale D1 )

= 77 + 75 + 73+ ... + 37+ 35 = 1232 = 16 · 77 = 22 · 56 ,
wobei i = 1 (1) 22 . Letzteres bedeutet, dass die Anzahl der Terme (22) insgesamt gleich einem kleineren Teiler ist


N (x1, xo) und der durchschnittliche Term (56) ist der größere Teiler von N (x1, xo).

Wenn die Zellen des Hauptmodells zur Diagonale G 2 ± - mit der Gleichung x1 = xo im Modell G 2 - enthalten sind , ist der Wert in ihnen Null. Wenn wir dann Werte in den Zellen der Zeile mit der Nummer x1 in der letzten Zelle generieren, erhalten wir den Wert 2x1–1, da er mit dem Wert aus der Zelle der Zeile mit der darüber liegenden Nummer x1–1 summiert und dieser Wert 0 ist. Wichtige Eigenschaften von G 2 - - Das Modell und seine Zellen sind wie folgt.

Eigenschaft 1. Alle Zahlen in den Zellen der aktuellen Horizontalen x1 können aus den Zahlen in den entsprechenden Zellen der vorherigen (oberen) Horizontalen mit der Zahl x1 - 1 erhalten werden, indem ihre Werte mit einem konstanten Wert von 2x1 - 1 summiert werden.

Tabelle 1 - Fragment G 2 - - Modelle von 2 Linien 38. und 39., N = 77



In der Tat ist N (x1, xo) = N (x1 - 1, xo) + 2x1 - 1 = x1 2 - 2x1 + 1+ 2x1 - 1– xo 2 = x1 2 - ho 2 .

Eigenschaft 2. Die zweite Eigenschaft folgt aus der ersten. Jede Zahl N (x1, xo) in der horizontalen Zelle mit der Zahl x1 kann als die Summe der Werte in den Zellen des Fragments der langen Diagonale D1 erhalten werden, von denen der größere d1max die Zahl in der letzten horizontalen Zelle x1 ist und der kleinere d1min die Zahl in der Zelle ist, die die Diagonale D1 schneidet mit vertikalem ho.

Eigenschaft 3 . Für ein quadratisches VLF N, das in der äußersten rechten Zelle der Horizontalen x1 platziert ist, gibt es in dieser Horizontalen eine Zelle, in der ein Vielfaches von N platziert wird, dh die Zahl kN, k> 1. Die Suche nach einer solchen Zelle ist ein nicht triviales Problem, das schwer zu lösen ist.

Ein Beispiel für diese Eigenschaft sind die Daten in Tabelle 2. Für Zahlen der ersten hundert, die quadratlos und zusammengesetzt sind und in Zellen d1∊ D1 mit einem Wert von 2x1 - 1 platziert sind, ist eine andere Zelle (x1, xo), die den Wert N (x1, xo) = kd1 enthält, ein Vielfaches d1.

Tabelle 2.


K · D ist das Produkt der Diagonalen, die sich in der Zelle mit dem Wert von kN schneiden.

Eigentum 4 . Alle Zahlen N (x1, xo) in den Zellen der aktuellen Horizontalen x1 können als Produkt der Zahlen der Diagonalen a = x1 + xo kurz und b = x1 - xo lang erhalten werden, die sich in diesen Zellen schneiden.

Es ist zweckmäßig, die Eigenschaften anhand eines numerischen Beispiels zu veranschaulichen.
Beispiel 4 . Wir werden 2 - betrachten- Modell. Wir setzen N = pq = 7 · 11 = 77 für die Faktorisierung des ELF. Dies ist eine ungerade Zahl, und dafür gibt es eine Zelle in der langen Diagonale D1, die horizontal mit der Zahl x1 = ½ (N + 1) = 39 liegt.

Die Zahl 77 selbst wird in die letzte gesetzt Zelle dieser Horizontalen, die wie alle anderen Zellen die Differenz der Quadrate der Koordinaten x1 2 - xo 2 enthält .

Die erste Zelle dieser Horizontalen in der Vertikalen xo = 0 ist mit der Zahl
x1 2 = 39 2 = 1521 besetzt. Der Wert der Zahl in einer Zwischenzelle der Horizontalen x1 ist einerseits das Produkt der Zahlen b = x1 - xo lang und kurz a = x1 + xo Diagonalen, der Schnittpunkt ab = (x1 + xo) (x1 - xo) darin.

Auf der anderen Seite ist es gleich die Differenz zwischen den Quadraten der horizontalen Zahlen (für alle horizontalen Zellen dieses Quadrat x1 2 ist das gleiche) und der vertikalen xo 2 , das auch schneiden sich in dieser Zwischenzelle, d.h.
N (x1, xo) = x1 2 - xo 2 .

Zusätzlich sind alle Werte in den horizontalen Zellen x1 (durch Eigenschaft 1) gleich der Summe der Werte N (x1, xo) = N (x1 - 1, xo) + 77 der entsprechenden horizontalen Zellen mit der Zahl x1 - 1, d.h. von der oberen darüber und einer Konstanten gleich N = 77.

Angenommen, für die Zahlen der Diagonalen wird der Wert x1 + xo = I1 = 56 für die kurze und für die lange der Wert x1 xo = I2 = 22 gewählt, d. h. Werte von nichttrivialen Idempotenten des Restrings modulo N.

Wenn wir nichttriviale Idempotente als Diagonalen des G 2 - - Modells multiplizieren , erhalten wir in einer horizontalen Zelle (mit der Zahl x1 = 39) als Produkt das Vielfache des Restringmoduls (77), das sich in der letzten Zelle dieser Horizontalen befindet, d. H. I1 · I2 = 56 · 22 = kN = 16 · 77 = 1232.

Aus der Ringtheorie ist auch bekannt, dass die Summe der nicht trivialen Idempotenten gleich 1 + 2 = N + 1 ist. In Bezug auf unbekannte Idempotente erhalten wir also ein algebraisches Gleichungssystem, das neben zwei unbekannten Idempotenten auch einen dritten unbekannten Multiplizitätskoeffizienten k> 1 enthält.



Glücklicherweise kann der Koeffizient k außerhalb des algebraischen Gleichungssystems bestimmt werden. Angenommen, der Koeffizient k wird bereits von uns k = 16 bestimmt. Dann lösen wir das Gleichungssystem.



Der letzte Term in der quadratischen Gleichung muss zum Quadrat von 39 gemacht werden. Fügen Sie dazu die Zahl 289 = 17 2 links und rechts von der Gleichung hinzu . Dann erhalten wir
(I2 - 39) 2 = 17 2 oder I2 - 39 = ± 17 und schließlich I2 = 17 + 39 = 56 oder I2 = 39 - 17 = 22.
Antwort: Idempotente sind gleich I2 = 22; I1 = 56 oder umgekehrt: I2 = 56 und I1 = 22.

Nun kehren wir zur Frage der Bestimmung des Wertes des Multiplizitätskoeffizienten k zurück.
Betrachten Sie den folgenden Algorithmus zur Bestimmung des Multiplizitätskoeffizienten von Modul N.

Algorithmus

1. Es wird eine zusammengesetzte Zahl N = 77 angegeben - das Modul des Restrings;

2. Bestimmen Sie mit N den Wert der horizontalen Zahl x1 = ½ (77+ 1) = 39 in der ersten Zelle
welches wir ein Quadrat 39 2 = 1521 setzen, und in seine letzte Zelle setzen wir N = 77;

3. Das Produkt der Idempotenten erscheint in der horizontalen Zwischenzelle x1 = 39; Für diese Zelle ist die Bedingung erfüllt, dass die Zahl in ihr gleich kN ist, und sie ist durch die Differenz der Quadrate der natürlichen Zahlen darstellbar.

4. Daher werden die Werte x0 = 1,2,3, ... jedes Mal, wenn wir den Wert von k bestimmen , wiederholt vom Quadrat der Zahl der ersten horizontalen Zelle 39 2 = 1521 subtrahiert, und ist es eine ganze Zahl? Sobald die Differenz ein Vielfaches von N wird, ist das Problem gelöst: kN wird gefunden.

Betrachten wir auch einen anderen Algorithmus zur Bestimmung des Multiplizitätskoeffizienten des Moduls N.

1. Eine zusammengesetzte Zahl N = 77 ist gegeben - das Modul des Restrings;

2. Bestimmen Sie mit N den Wert der horizontalen Zahl x1 = ½ (77+ 1) = 39, in dessen erste Zelle
wir das Quadrat 39 2 = 1521 und in die letzte Zelle N = 77 setzen;

3. Das Produkt der Idempotenten erscheint in der Zwischenzelle der Horizontalen x1; Für diese Zelle ist die Bedingung erfüllt, dass die Zahl in ihr gleich kN ist, und sie ist durch die Differenz der Quadrate der natürlichen Zahlen darstellbar.

Unter Verwendung der Eigenschaft 2 kann die Zahl kN durch den dort angegebenen Pfad gefunden werden, nämlich durch Summieren monoton abnehmender ungerader Zahlen aus einem Fragment der Diagonale D1, beginnend mit d1max = 77 und endend mit d1min, dessen Wert a priori unbekannt ist, d1min, d1max ∊ D1.

4. Um den letzten Term nach jedem Summierungsschritt festzulegen, wird die Teilbarkeit der erhaltenen Summe durch N = 77 überprüft. Die Lösung ist die durch 77 teilbare Summe.

Tabelle 3 - N Zahlen sind Vielfache von 3 auf der Mittellinie (die Vorhersage wird durch Füllen hervorgehoben).



In dieser Tabelle sind zusammengesetzte Zahlen (Vielfache) drei) folgen mit abwechselnden Lücken von 6 und 12. Tatsächlich haben wir in Zeile N 21 - 15 = 6 und 33 - 21 = 12 und weiter in derselben Reihenfolge. Vermutlich sind die Lücken zwischen den Tabellenwerten von N auf die Tatsache zurückzuführen, dass in den sechs benachbarten Zahlen Doppelprimzahlen vorhanden sind, beispielsweise 16, 17, 18, 19, 20.

Das nächste Vielfache von drei 21 ist nur das sechste in Folge nach 15. Entweder sind in 12 aufeinanderfolgenden Zahlen Paare von Doppelprimzahlen möglich, z. B. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, oder die Quadrate 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 werden mit einfachen Zwillingen gemischt. Im Allgemeinen wird die Wahl mit der Garantie getroffen, nicht auf eine nicht zusammengesetzte Zahl an einer Position zu stoßen, die einem Vielfachen von drei entspricht.

Ein solcher Zustand gewährleistet nämlich die Zuverlässigkeit der Prognose weit voraus. Die fehlenden Zahlen sind ein Vielfaches von nicht nur drei, sondern auch großen Primzahlen, wodurch sie von anderen Positionen aus betrachtet werden können.

Publikationsliste

1.Stechkin B.S., Matiyasevich Yu.V. Sieb von Eratosthenes // Verfahren der internationalen Schule von S.B. Stechkina zur Funktionstheorie. - Jekaterinburg, 1999. - p. 148.

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