Ich fahre fort , das Thema Fehler und Kringeln, in dem Artikel begonnen „Fettnäpfchen von Lehrbüchern und Kuriositäten der Studie . “ Ich erinnere mich an die Definitionen:

Blooper ist ein offensichtlicher oder verschleierter Fehler, der jedoch nicht grundlegender Natur ist, sodass Sie ihn nach dem Leiden beheben können.
Zagogulina ist eine Phrase, ein Thema, das so formuliert ist, dass man, um es zu verstehen, den Kopf zerschlagen muss (gewöhnlich, nicht genial und nicht talentiert).

1. Was ist die Einfachheit der Formel?

Nehmen Sie das Buch „Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundlegendes Konzept. Grenzwertsätze. Zufällige Prozesse “, Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov,„ Science “, 1967. Ich
zitiere den Text auf Seite 14:
„ Stirling-Formel. In allen obigen Formeln ist der Ausdruck

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . Die direkte Berechnung eines solchen Produkts für großes n ist sehr mühsam. Es gibt eine relativ einfache Formel, die einen ungefähren Wert für n! Gibt und Stirling-Formel genannt wird: für großes n

n! ∽ \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}

$n! \backsim \sqrt{2πn}n^n e^{-n}$

Ein ähnlicher Satz findet sich in anderen Büchern und im Internet.

Ich verstehe nichts, als dass die Stirling-Formel einfacher ist als die definierende Formel

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . Inwiefern ist das einfacher? Wie ordne ich Formeln einfach an? Da der Schlüsselbegriff lautete: „Die direkte Berechnung eines solchen Produkts für große n ist sehr mühsam“, ist es natürlich, eine größere Einfachheit im Sinne weniger Berechnungen anzunehmen. Okay, lass uns von dieser Seite kommen. Vergleichen Sie die Formeln anhand der Position der Anzahl der Elementaroperationen (aus Sicht eines Computers) in der einen und der anderen Formel. In der Formel

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ Es gibt n Multiplikationen. In der Stirling-Formel haben wir die Operationen:

$\sqrt{2πn}$ - zwei Multiplikationen und eine Wurzelextraktion. Das Extrahieren der Wurzel ist keine elementare Operation, aber ihre Implementierung erfordert einen Rechenzyklus und je länger, desto größer ist die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen.
$n^n$ - n Multiplikationen. $n^n=nnn…n$ . Schließlich werden wir uns nicht darüber streiten, dass dies eine Operation ist. In diesem Fall können wir sagen, dass n! eine Operation. Zumindest in keinem Computer ist weder Grad noch Exponentialfunktion eine Elementaroperation.
$e^{-n}$ - Dies ist ebenfalls keine elementare Operation, aber ihre Implementierung erfordert einen Rechenzyklus und je länger, desto größer ist die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen.

Das lustigste ist das

n^{n} = n n \dots n

$n^n=nn…n$ leichter erklärt

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ . Aus jeder Sicht der Einfachheit kann man danach nicht mehr weiter argumentieren.
Es ist also klar, dass die Stirling-Formel unter dem Gesichtspunkt der Rechenkomplexität keineswegs einfacher ist als die definierende Formel.
Warum brauchen wir dann die Stirling-Formel? Es gibt keine universelle Antwort. Und es kommt nicht auf die Einfachheit der Berechnungen an. Es hängt alles von der Situation ab. Beispielsweise ist es unwahrscheinlich, dass der Ausdruck vereinfacht wird

N! / (N - 1)!

$N!/(N-1)!$ Sie müssen die Stirling-Formel anwenden. Die definierende Formel gibt sofort

N! / (N - 1)! = N

$N!/(N-1)!=N$ .
Wenn wir eine Identität wie Formel1 ≡ Formel2 haben, ist es im Allgemeinen manchmal vorteilhaft, Formel1 durch Formel2 zu ersetzen, und manchmal auch umgekehrt.
In einigen Situationen führt die Anwendung der Stirling-Formel zu einer offensichtlichen Verringerung der Begriffe der Formel, in die sie eingeht, was schwer zu erkennen ist, ob die definierende Formel angewendet wird. Zumindest in der statistischen Physik ist dies so. Dort werden alle Grundgrößen als statistisches Gewicht ausgedrückt, dessen Formeln mit Fakultäten flackern. Die Entropie wird zum Beispiel durch den natürlichen Logarithmus der Anzahl der Zustände ausgedrückt. Hier beginnt die Rolle der Form zu spielen, in diesem Fall die Darstellung der Fakultät durch den Grad:

l n (n!) ∽ n l n (n / e)

$ln⁡(n!) \backsim nln(n/e)$

Und hier ist ein Beispiel für die Anwendung der Stirling-Formel aus Fichtenholtz (v.2):

2. Der Haken der Notation

Nehmen Sie das Lehrbuch "Physik der Elementarteilchen", Autor N. F. Nelipa, Moskau, "Higher School", 1977. Auf Seite 19 wird die Beziehung zwischen der Impuls- und der Koordinatendarstellung aufgezeichnet:

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ (p) (1)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}φ(p) \ \ \ \ (1)$

Wir sehen, dass die Formel sowohl φ rechts als auch φ links enthält. Wenn dies eine Identität ist, kann eine nicht sehr anspruchsvolle Person anhand dieser Formel diese Schlussfolgerungen ziehen.
Wir nehmen φ (x) = 1
Dann haben wir aus (1)

1 = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} 1

$1=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}1$

Habe eine "wunderbare" Zersetzung der Einheit. Oder ähnlich

s i n (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} s i n (p)

$sin(x) =(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}sin(p)$

Das alles ist eindeutig Unsinn. Also, was ist der Deal?
Oder vielleicht sollte Beziehung (1) als eine Gleichung des Typs interpretiert werden

x^{2} = b x

$x^2=bx$ ?
Wir schauen uns andere Bücher an. Hier ist eine weitere "Physik der Elementarteilchen", Autor Gaziorovich, Moskau, "Wissenschaft", 1969. Auf Seite 20 haben wir die Formel

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ ̃ (p) (2)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx} φ ̃(p) \ \ \ \ (2)$

Ich atme erleichtert auf. Dies ist nur eine Verbindung zwischen den Koordinaten- und Impulsdarstellungen und wird aus mathematischer Sicht durch die Fourier-Erweiterung gegeben. Hier sind φ und φ ̃ unterschiedliche Funktionen. Aber was ist mit Formel (1) Nelips? Aus mathematischer Sicht ist es falsch. Wenn φ eine Funktion ist, sind sowohl φ (x) als auch φ (p) alle eine Funktion. Ich wurde lange Zeit gequält („Der Autor kann nicht anders, als das zu bemerken. Das bedeutet, dass der Fall schwieriger ist“) und fand dann eine Entschuldigung aus physikalischer Sicht. Hier ist es:
φ (x) und φ (p) sind nicht die gleichen Funktionen, sie sind ein und dasselbe Feld φ, aufgenommen in verschiedenen Darstellungen. Das Feld ist eins, aber seine Darstellung ist anders. Der Ansichtstyp wird durch einen Buchstaben in Klammern angegeben. Wir konzentrieren uns auf die Tatsache, dass sich das Feld nicht ändert. Die Ansicht ändert sich. Also habe ich mich beruhigt.Aber meine Herren, die Autoren, Sie schreiben ein Lehrbuch. Erklären Sie bloßen Sterblichen, was was ist. Und dann muss der Leser Ausreden für den Autor finden .

Weiter wende ich mich den sowjetischen Quantenklassikern „Einführung in die Theorie der quantisierten Felder“ von NN Bogolyubov und DV Shirkov, Nauka, Moskau, 1973 zu.

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} φ ̃ (k) (3)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx}φ ̃ (k) \ \ \ \ (3)$

Fein. Und der oben erwähnte Gaziorovich ist ähnlich. Aber schauen Sie weiter. Ich zitiere:
„... wir finden, dass die Funktion φ ̃ (k) die Gleichung erfüllt

(k^{2} - m^{2}) φ ̃ (k) = 0

$(k^2-m^2 ) φ ̃ (k)=0$

Und kann daher als dargestellt werden

φ ̃ (k) = δ (k^{2} - m^{2}) φ (k)

$φ ̃ (k)=δ(k^2-m^2 )φ(k)$

Außerdem wird gesagt, dass in diesem Sinne die Zersetzung (3) die Form annehmen wird

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} δ (k^{2} - m^{2}) φ (k) (4)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx} δ(k^2-m^2 )φ(k) \ \ \ \ (4)$

Wieder kehrten wir zur Darstellung von φ bis φ zurück. Vom verständlichen kam Gaziorovich zum unverständlichen Nelipe. Was bedeutet das? Ist das eine Gleichung? Ich denke, dass es auch hier notwendig ist, eine Interpretation ähnlich dem oben gegebenen Fall von Nelipa zu geben.
Das ist wirklich ein Kringel. Aus irgendeinem Grund traf mich dieser Kringel nur in den Büchern sowjetischer Autoren.
Und ich werde zum Autor von Nelip zurückkehren. Wir nehmen sein Buch „Physik der Elementarteilchen. Messfelder. “ Das Buch wird als Studienführer empfohlen. Dies verpflichtet das Lehrbuch, alle Arten von Standardeinstellungen so wenig wie möglich zu machen. Sie müssen den Schüler nicht zwingen, lange über das Lösen der Standardeinstellungen nachzudenken. Es ist schon schwierig für ihn. Wir nehmen jedoch die Formel (1.2.14) und den vorhergehenden Text:
Matrizen

λ_{k}

$λ_k$ erfüllen die folgenden Kommutierungsrelationen (Lie-Algebra):

[λ_{k}, λ_{j}]_{-} = 2 i f_{k j n} λ_{n}, S p λ_{i} λ j_{k} = 2 δ_{i j} (1.2.14)

$[λ_k,λ_j ]_-=2if_{kjn} λ_n, Spλ_i λj_k=2δ_{ij} \ \ \ \ (1.2.14)$

Und es wird kein Wort gesagt, dass Summieren mit n gemeint ist. Dies steht weder im Vorwort noch im Haupttext. Und es gibt viele solcher Formeln im Buch.
Darüber hinaus heißt es in der Einleitung:
„Das Skalarprodukt zweier vierdimensionaler Vektoren ist geschrieben als

Patzer und Schnörkel. 2

1. Was ist die Einfachheit der Formel?

2. Der Haken der Notation

3. Große Kringelmessungen

$\ \ \$ 3.1. Dirac

$\ \ \$ 3.2. Landauer

$\ \ \$ 3.3. Blokhintsev

$\ \ \$ 3.4. Susskind

$\ \ \$ 3.5.

$\ \ \$ 3.6. Wihman

$\ \ \$ 3.7.

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.1. Ablehnung des Projektionspostulats

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.2. Ablehnung einer nicht deterministischen Reduktion

$\ \ \$ 3.8. Zusammenfassung

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.1. Kochen

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.2. Messung

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