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Naturgesetze und elegante Mathematik: Probleme und Lösungen

Wenn die Mathematik uns eine elegante Erklärung für viele physikalische Phänomene geben kann, ist es manchmal in realen Situationen notwendig, durch das Dickicht numerischer Daten zu waten




Seit der Zeit von Pythagoras glauben die Menschen an die besondere Fähigkeit der schönen Mathematik, uns alle Geheimnisse der Welt zu enthüllen. Wir haben den berühmten Artikel von Eugene Wigner " Unangemessene Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften " verwendet, um dieses Thema mit den Lesern zu diskutieren und verschiedene damit verbundene Probleme zu lösen. Die Aufgabe bestand darin zu demonstrieren, dass, obwohl Mathematik wirklich sehr nützlich ist, um idealisierte Modelle und elegante Erklärungen für viele physikalische Phänomene zu erstellen, es in realen Situationen manchmal notwendig ist, durch Dickichte numerischer Daten zu waten.

Szenario 1: Einfachheit und Einheitlichkeit


A) Das Objekt gleitet über eine homogene Oberfläche mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 1. Für jede Entfernungseinheit verringert sich seine Geschwindigkeit um 1/10 des Wertes, den es hatte, bevor es dieses bestimmte Segment passiert. Wie weit kann ein Objekt reisen, bevor es vollständig stoppt? Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung?

Diese Aufgabe hat einen Haken. Auf den ersten Blick erinnert es an das Zeno-Paradoxon von Achilles und der Schildkröte, die eine unendliche geometrische Folge von 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... sowohl für die Zeit als auch für die Entfernung erzeugt. Obwohl diese Sequenz unendlich ist, konvergiert sie und daher ist es möglich, ihren Gesamtbetrag zu berechnen (in diesem Fall 2). Daher wird in diesem Fall die endliche Distanz in einer endlichen Zeit zurückgelegt [man kann argumentieren: Hier geht es nicht um ein mathematisches Modell, sondern um reale Bewegung, und daher ist es nicht sinnvoll, die Analyse des Paradoxons auf die Mathematik zu beschränken - weil Zenon nur die Anwendbarkeit des Idealisierten auf die reale Bewegung in Frage stellt mathematische Konzepte / ca. übersetzt.].

Versteckter Text
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B) Die Maschine kann sich mit der gleichen Leichtigkeit sowohl vorwärts als auch seitwärts bewegen. Die normale Reisegeschwindigkeit in jede Richtung beträgt 1 Einheit auf einer glatten Oberfläche. Die Abbildung zeigt, dass sie 10 Geländestreifen überwinden muss, von denen jeder eine Länge von 10 Einheiten und eine Breite von 1 Einheit hat. Die Länge der Streifen ist senkrecht zu der Richtung, in die sich die Maschine bewegen muss. Die Maschine befindet sich in der Mitte des ersten Streifens, der glatt ist (glatte Streifen sind grau gekennzeichnet). Danach wechseln sich unregelmäßige (lila) und glatte Streifen ab.



Unregelmäßigkeiten auf unebenen Streifen sind jedoch nicht gleich. Jeder Streifen besteht aus 10 quadratischen Abschnitten, die wir uns in Form künstlicher Straßenunregelmäßigkeiten vorstellen können. Rauheiten stehen nebeneinander, die Größe von jedem von ihnen ist 1x1. Ihre Eigenschaften variieren. Unregelmäßigkeiten können die Reisegeschwindigkeit der Maschine um einen Wert von 50% auf 95% verlangsamen, und dieser Wert wird in Schritten von 5% geändert. Jeder der unebenen Streifen besteht aus Unregelmäßigkeiten aller 10 Typen in zufälliger Reihenfolge (der erste violette Streifen zeigt eine der möglichen Optionen für die Verteilung von Unregelmäßigkeiten). Die Maschine kann die Rauheit des Bereichs direkt vor ihr ablesen (aber nur einen) und sich mit einer Reisegeschwindigkeit von 1 seitwärts bewegen, so dass sie auf Wunsch eine weitere Rauheit bewegt, die sie nicht so stark verlangsamt. Dazu natürlichDie Zeit wird vergehen, und wenn sie sich um ein paar Quadrate seitwärts bewegt, wird mehr Zeit aufgewendet. Nach Überwindung jedes Magentastreifens steigt die Reisegeschwindigkeit wieder auf 1. Welche Strategie sollte das Auto für den schnellsten Weg durch das gesamte Gebiet verfolgen? Wie lange wird es dauern?

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2:


Stellen Sie sich ein hypothetisches festes Objekt in Form eines rechteckigen Dreiecks vor, dessen gesamte Masse sich auf die Eckpunkte konzentriert. Stellen Sie sich der Einfachheit halber vor, dass dieses Objekt zweidimensional ist - es hat keine Dicke. Jeder Scheitelpunkt ist ein Punkt mit einer Masse von 1 Einheit, und die Gesamtmasse des Objekts beträgt 3 Einheiten. Die Basis des Dreiecks ist 4 Einheiten lang, das vertikale Bein ist 3 Einheiten und die Hypotenuse ist 5 Einheiten. Stellen Sie sich vor, dass sich dasselbe Dreieck in der Nähe befindet und genau gleich ausgerichtet ist und die Mediane beider Dreiecke (das Segment, das die Mitte der Hypotenuse mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verbindet) auf einer geraden Linie liegen und die Scheitelpunkte der rechten Winkel 4 Einheiten voneinander entfernt sind. Was wird die Anziehungskraft sein, die auf sie wirkt? Funktioniert das Gesetz der Gravitationsanziehung, wenn es auf zwei Dreiecke als separate Objekte angewendet wird? Was,Wenn sich die Dreiecke in einem Abstand von 8 Längeneinheiten voneinander befinden und auf die gleiche Weise ausgerichtet sind? Ist die Formel für die Anziehungskraft in einer solchen Situation besser?

Bild

Versteckter Text
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Erfordert das Naturgesetz also elegante Mathematik? Und was macht elegante Mathematik für eine Vielzahl von Problemen so fähig und anwendbar? Unter den Vorteilen der Mathematik listete

ein Leser Abstraktion, integrierte Überprüfungen auf Konsistenz, Kontinuität, Arbeit mit Unendlichkeiten, Rückmeldungen aus der Physik und Symmetrie auf. Ein anderer zitierte die folgende Geschichte aus dem Leben: Vor einigen Wochen sprach ich mit Don Lincoln, einem Physiker aus Fermilab. Ich fragte ihn: "Warum kann Mathematik das Universum so gut beschreiben?" Er antwortete, dass mathematische Systeme auf unendlich viele Arten formuliert werden können. Für jedes Universum, das kausale Beziehungen hat, kann man immer eine mathematische Plattform finden, die seine Physik beschreibt.



Andere Leser haben ähnliche Beobachtungen beschrieben. Es scheint mir, dass Mathematik an sich eine riesige Reihe von Gesetzen und Techniken ist, die aufgrund ihrer Abstraktion in vielen nicht verwandten Bereichen Anwendung finden können, die eine ähnliche Struktur und Dynamik aufweisen, oder in gegenseitiger Interaktion anderer Art. Wir haben auch das Glück, in einem Universum zu leben, in dem elegante Mathematik nützlich ist. Wie ein Leser bemerkt : „Die Mathematik und die Gesetze von Newton wären ziemlich unpraktisch , wenn wir in einem Universum mit Entropie der Nähe von maximal gelebt.“

Aber wie vollständig kann elegante Mathematik die Natur beschreiben? Ich werde einen Kommentar von einem der Leser vollständig zitieren :

Man muss nicht tiefer in die Biologie eintauchen, um festzustellen, dass viele mathematische Darstellungen nicht vollständig genug sind: Chemie, Materialwissenschaften, Physik der kondensierten Materie. Zum Beispiel kann ein Wassermolekül mit den Werkzeugen der Quantenmechanik nicht analytisch beschrieben werden, aus dem gleichen Grund, aus dem uns das Dreikörperproblem in der Himmelsmechanik nicht zur Verfügung steht. Ganze Bereiche der Wissenschaft wie die Thermodynamik und die statistische Mechanik existieren, weil einige physikalische Systeme wie ein Eiswürfel im Wasser zu komplex sind, um jedes Wassermolekül im Eis und in seiner Kapazität mathematisch zu beschreiben, ganz zu schweigen von Bose-Kondensaten -Einstein oder Superfluidität. Das Ohmsche Gesetz ist die elektromagnetische Version der statistischen Bruttosumme, und das Hookesche Gesetz und die Spannungstensoren sind die elastische Version der statistischen Bruttosumme.und beide weigern sich aufgrund der Abhängigkeit des elektrischen Stroms von Temperatur und Material und der Auswirkungen irreversibler Verformung in physischen Körpern unter schwerer Last, zu einer bestimmten Zeit oder nach einer bestimmten Grenze zu arbeiten.

Der Grund für die Einfachheit der meisten in der Physik verwendeten Mathematik ist, dass es sich um eine grobe statistische Summe oder eine ernsthafte Vereinfachung physikalischer Phänomene handelt.

Warum mögen wir elegante Mathematik so sehr?


Einer der Leser betitelte seinen Kommentar „Eleganz ist der geringste Energieverbrauch des Gehirns“ und schrieb:

Das Gefühl von „Eureka!“, Die Reduzierung der hohen Komplexität auf das einfache Prinzip der Organisation von Neuronen oder auf das „mathematische Gesetz“ bei vielen Problemen ist ein Beispiel für eine Vereinfachung, die ein euphorisches Gefühl vermittelt Energie sparen. Dieses Prinzip kann mit dem KISS-Prinzip (Keep It Simple, Stupid) sowie mit Einsteins Aussage zusammenhängen: "Alles muss auf die einfachste Form reduziert werden, aber es lohnt sich nicht, es weiter zu vereinfachen."

Die Erkenntnis unseres Gehirns, dass in der Natur viele Phänomene miteinander verbunden sind, führt zu einer solchen Symmetrie, dass die Selbstorganisation unserer Neuronen eine Möglichkeit darstellt, Informationen mit minimalem Energieverbrauch zu speichern.

Wie ich in meinem Artikel zu diesem Thema schrieb, war Occams Rasiermesser und angenehmes Gefühl zur Zeit von "Eureka!" sind fest in unserem Gehirn registriert und Ausdruck einer einzigartigen kognitiv-emotionalen Verbindung, die uns rational macht. Ich nehme an, dass jedes Mal, wenn in unserem Kopf die Menge, die ich "psychische Entropie" nenne, abnimmt, wir eine Belohnung erhalten. Diese psychische Entropie ist nicht nur Kompaktheit, sondern auch die Organisation von Verbindungen, die bis zu diesem Moment nicht sichtbar waren, und das Gefühl, dass alles eins wird. Die Evolution hat uns intelligent gemacht und nach der Lösung jedes Rätsels kleine interne Belohnungen geliefert - eine sehr effektive Strategie.

Also hat Wigner recht?


Ja und nein. Er hatte Recht, dass es in mathematischen Beschreibungen einiger physikalischer Probleme abstrakte Muster und Symmetrien gibt, und dann zeigt die Mathematik ihre ganze Kraft. Es gibt jedoch solche Bereiche sowohl in der Physik als auch in anderen komplexen Wissenschaften, in denen dies nicht funktioniert. Vielleicht war Wigner ein wenig mystisch oder ein "Patriot der Mathematik" und hat das Problem in seinem Aufsatz etwas übertrieben.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

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