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Eine erstaunliche experimentelle Entdeckung im Zusammenhang mit dem Verhalten von Flüssigkeiten löste eine Welle mathematischer Beweise aus

Die komplexen Flüssigkeitsströme in einer Tasse Tee inspirierten die Wissenschaftler zu wichtigen Beweisen. Der

wissenschaftliche Fortschritt verläuft nicht immer geradlinig. Die Forscher beginnen, sich mit einigen Problemen zu befassen und sie dann fallen zu lassen. Ergebnisse inspirieren nicht mehr. Es könnte Jahrzehnte dauern, um eine Theorie zu bilden.

Aber manchmal geht die Anhäufung wissenschaftlicher Erkenntnisse direkt voran, und eine Entdeckung führt zu einer anderen, als ob fallende Dominosteine.

Ähnliches ist kürzlich auf dem Gebiet der Mathematik geschehen, das Strömungsmechanik studiert. Die erstaunliche experimentelle Entdeckung von 2013 brachte eine Reihe mathematischer Beweise hervor, die jahrhundertealte Ideen zerstörten.

"Es war eine sehr dynamische und erstaunliche Geschichte", sagte Alexander Kiselev, Mathematiker an der Duke University, Mitautor eines der Beweise.

Die Entdeckungen basieren auf den 1757 von Leonard Euler formulierten Euler-Gleichungen . Mathematiker und Physiker verwendeten sie, um das Verhalten von Flüssigkeiten über die Zeit zu simulieren. Wenn Sie einen Stein in den Teich werfen, wie bewegt sich die Flüssigkeit in fünf Sekunden? Euler-Gleichungen helfen bei der Beantwortung dieser Frage.

Aber nicht wörtlich. Euler-Gleichungen beschreiben eine idealisierte Welt, in der eine Flüssigkeit mehrere Eigenschaften hat, die in der Realität nicht zu finden sind. Beispielsweise setzen die Gleichungen das Fehlen einer Viskosität in Flüssigkeiten (interne Strömungen erzeugen keine Reibung) sowie Inkompressibilität (Sie können eine Flüssigkeit nicht in ein Volumen schieben, das kleiner ist als es bereits benötigt) voraus.

In dieser idealisierten Welt verwenden diese Gleichungen Newtons Bewegungsgesetze, um den zukünftigen Zustand einer Flüssigkeit vorherzusagen. Mathematiker, die Euler-Gleichungen studieren, müssen letztendlich verstehen, ob sie immer funktionieren. Gibt es Szenarien, die dazu führen, dass die Gleichungen zusammenbrechen und das zukünftige Verhalten der Flüssigkeit nicht mehr beschreiben?

Im Jahr 2013 beschlossen einige Mathematiker , ein solches Szenario zu finden . Thomas Howe vom California Institute of Technology und Guo Luo von der Hong Kong City University übten digitale Simulationen auf einem Computer. Sie gaben eine numerische Beschreibung des Anfangszustands der Flüssigkeit und wiesen den Computer an, die Euler-Gleichungen anzuwenden, um die Bewegung dieser Flüssigkeit in der Zukunft zu bestimmen.

Howe und Luo konzentrierten sich auf ein bestimmtes Szenario, das sich auch zu Hause fast genau wiederholen lässt. Bevor wir die überraschend komplexen Möglichkeiten diskutieren, wie sich Flüssigkeiten bewegen können, lassen Sie uns ein Experiment durchführen, das jeder wiederholen kann.

Stellen Sie sich einen zylindrischen Becher mit flachem Boden vor, in den Tee gegossen wird. Einige Teeblätter ruhen unten. Rühren Sie den Tee im Uhrzeigersinn. Zuerst beginnt sich die gesamte Flüssigkeit als Ganzes zu drehen und nimmt Teeblätter mit.

Einige Zeit nach Beginn der Bewegung beginnt jedoch die Zentrifugalkraft der rotierenden Flüssigkeit mit den Wänden des Bechers zu interagieren, wodurch, wie Physiker sagen, ein „Sekundärfluss“ entsteht - eine komplexere Bewegung, die als Reaktion auf das anfängliche Rühren auftritt. Diese Sekundärströme, die an den Wänden des Zylinders entlang und in der Mitte nach oben fließen, zeigen die Teeblätter gut: Sie sammeln sich in der Mitte am Boden der Tasse und bleiben praktisch bewegungslos, obwohl sich der Tee weiterhin um sie dreht.

Dieses seit vielen Jahrhunderten beobachtete Phänomen wird als " Teeblattparadoxon " bezeichnet. 1926 gab Albert Einstein die erste mathematische Erklärung für dieses Verhalten.

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- Albert Einstein (aus einem Bericht auf einer Tagung der Preußischen Akademie der Wissenschaften am 7. Januar 1926)

Das von Howe und Luo rezensierte Skript ist etwas komplizierter. Stellen Sie sich die Flüssigkeit im Zylinder wieder vor. Aber jetzt dreht sich die Flüssigkeit oben im Zylinder wie bei einer Tasse Tee im Uhrzeigersinn und unten gegen den Uhrzeigersinn. Diese Bewegung erzeugt mehrere Sekundärströme. Whirlpools erscheinen und bewegen sich entlang der Zylinderwände auf und ab.

"Von oben dreht sich die Flüssigkeit nach unten und von unten wirbelt sie in die entgegengesetzte Richtung", sagte Howe.

Howe und Luo starteten eine numerische Simulation und sahen etwas Unerwartetes in der Mitte des Bechers, wo sich widersprüchliche Ströme treffen. Die Euler-Gleichungen zeigen, dass die Verwirbelung der Flüssigkeit an dieser Stelle extrem zunimmt. Ihre Simulation zeigte, dass nach Eulers Gleichungen die Wirbel an diesem Ort so schnell wachsen, dass sie in einer endlichen Zeit unendlich werden.

Solche unendlichen Werte nennt man Singularitäten. Wenn Eulers Gleichungen eine Singularität ergeben, brechen sie - oder, wie Mathematiker sagen, "explodieren" - und können die zukünftige Bewegung der Flüssigkeit nicht mehr beschreiben. Gleichungen können nicht mit unendlichen Werten berechnet werden.

Die Eröffnung von Hou und Luo sorgte für Aufsehen. Seit mehr als 200 Jahren suchen Mathematiker nach Szenarien, die Eulers Gleichungen brechen. Viele führten numerische Simulationen durch, die ihrer Meinung nach zu Singularitäten hätten führen sollen, aber keiner von ihnen bestand den Test auf schnellen Computern. Hou und Luo scheinen endlich ein solches Szenario gefunden zu haben.

"Viele Forscher betrachten dieses Szenario, um eine Singularität zu erhalten, als die überzeugendste von allen", sagte Vladimir Sverak von der University of Minnesota.

Computersimulationen sind jedoch nur ein Beweis. Dies ist kein Beweis.

"Computer sind in dem Sinne begrenzt, dass sie nicht mit unendlich kleinen Mengen arbeiten können", sagte Kiselev. "Die Ergebnisse mögen überzeugend aussehen, aber wir können uns nicht sicher sein." Wenn Sie einen besseren Supercomputer nehmen, können Sie vielleicht sehen, wie alles zusammenbricht. "

Daher beeilten sich Mathematiker zu prüfen, ob es möglich ist, zu beweisen, dass das Ergebnis von Hou und Luo aus mathematischer Sicht korrekt ist.

Thomas Howe, Mathematiker am California Institute of Technology in

Kiselev und Sverak, lernte diese Simulation 2013 bei der Präsentation von Howe auf der Sommerkonferenz kennenin Stanford. Dies veranlasste sie, an einem der wichtigen ungelösten Probleme bezüglich der Wachstumsrate der Vorticity in zweidimensionalen Flüssigkeiten zu arbeiten. Es gelang ihnen, eine langjährige Hypothese bezüglich der Eigenschaften der Wachstumsrate unter Berücksichtigung des Szenarios zu beweisen, das Howe und Luo in ihrer Simulation verwendeten.

"Es ist, als hätten wir ein Ziel, das wir anstreben könnten", sagte Kiselev. - Es ist eine Sache, wenn Sie jagen und das Ziel nicht sehen. Und es ist ganz anders, wenn du weißt, wo sie ist. “

Nachfolgende Beweise erweiterten das mathematische Verständnis der Bildung von Singularitäten in Euler-Gleichungen. Im Jahr 2019 veröffentlichte Tarek Elgindi von der University of California in San Diego zwei BeweiseBeschreibung der Bedingungen, unter denen die Euler-Gleichungen Singularitäten ergeben. Und die frühere Arbeit von Kiselev und Sverak war einer seiner Ausgangspunkte.

Elgindis Beweise verwenden spezielle Bedingungen und geben kein vollständiges Verständnis der Bildung von Singularitäten in den Euler-Gleichungen, die Mathematiker benötigen. Dies sind jedoch einige der stärksten Ergebnisse in diesem Bereich.
Während Whirlpools in einem Strom seine Eigenschaften ändern, veranlasste die Arbeit von Elgindi die Wissenschaftler zu einer neuen Welle mathematischer Entdeckungen. Im Oktober 2019 passten Hou und Jiajie Chen einige von Elgindis Methoden an, um strenge mathematische Beweise zu erstellen .Ein Szenario, das eng mit dem Experiment von 2013 zusammenhängt. Sie haben bewiesen, dass in einer leicht modifizierten Version des Szenarios die Singularität in den Euler-Gleichungen auftritt.
"Sie haben Elgindis Ideen auf das Szenario 2013 übertragen", sagte Sverak. Der Kreis ist geschlossen.

Natürlich gibt es noch viel Arbeit. Bestimmte technische Merkmale von Howes neuem Beweis erlauben es ihm nicht, die Existenz einer Singularität genau in der Situation zu bestimmen, die er 2013 modelliert hat. Nach einer herausragenden sechsjährigen Arbeitszeit und mit neuer Unterstützung glaubt Howe jedoch, dass er diese Schwierigkeiten bald überwinden kann. "Es scheint mir, dass wir uns schon sehr nahe stehen", sagte er.

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