Get best of the week

قام طالب الدراسات العليا بحل مشكلة طوبوغرافية قبل نصف قرن

استغرق الأمر من ليزا بيتشيريلو أقل من أسبوع للعثور على إجابة للسؤال القديم عن عقدة غريبة اكتشفها منذ أكثر من خمسين عامًا عالم الرياضيات الأسطوري جون كونواي.




في صيف 2018 ، في مؤتمر حول الطبولوجيا والهندسة ذات الأبعاد المنخفضة ، سمعت ليزا بيتشيريلو عن مشكلة رياضية صغيرة. بدت وكأنها أرضية اختبار جيدة لبعض التقنيات التي طورتها ليزا كطالب دراسات عليا في جامعة تكساس في أوستن.

قالت: "لم أسمح لنفسي بالعمل عليها خلال النهار ، لأنني لم أعتبر هذه المهمة رياضيات حقيقية. لقد اعتبرتها أكثر كواجب منزلي. "

كان السؤال: هل عقدة كونواي - نسج معقد للحبل ، اكتشفه قبل أكثر من خمسين عامًا عالم الرياضيات الأسطوري جون هورتون كونواي - شريحة من عقدة ذات أبعاد أعلى. تعد "Sliceness" من أول الأسئلة الطبيعية التي يختص بها المتخصصونتسأل نظريات العقدة عن العقد من مساحات عالية الدقة ، وتمكن علماء الرياضيات من الإجابة عليها لآلاف العقد التي لا تزيد عن 12 تقاطعًا - جميعها باستثناء واحدة. عقدة كونواي ، التي تضم 11 تقاطعًا ، أثارت اهتمام علماء الرياضيات لعدة عقود.

قبل نهاية الأسبوع ، كان بيتشيريللو مستعدًا للإجابة: عقدة كونواي ليست القسم المذكور. بعد بضعة أيام ، عندما التقت بكاميرون جوردون ، الأستاذ في جامعة تكساس ، ذكرت قرارها بشكل عرضي.

"قلت هذا؟؟ نعم ، يجب أن تذهب على الفور إلى حوليات! " - قال جوردون ، في إشارة إلى واحدة من أكبر المجلات الرياضية ، حوليات الرياضيات.

"بدأ بالصراخ: لماذا أنت غير سعيد بهذا؟" سعيد Pichchirillo ، وهو الآن طالب دراسات عليا في جامعة برانديز. "إنه مجنون."

قال جوردون: "لا أعتقد أنها أدركت كم كانت هذه المهمة مشهورة وشهيرة".

دليلظهر Piccirillo في مجلة Annals of Mathematics في فبراير. قدم لها هذا العمل وإنجازاتها الأخرى مكانًا في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، حيث ستبدأ العمل في 1 يوليو ، بعد 14 شهرًا فقط من الدفاع عن الدكتوراه.

كان السؤال حول ما إذا كانت عقدة كونواي تنتمي إلى قطع الطريق مشهورًا ليس فقط لأنه بقي دون إجابة لفترة طويلة. تمنح القطع المقطوعة لعلماء الرياضيات الفرصة لاستكشاف الطبيعة الغريبة للفضاء الرباعي الأبعاد ، حيث يمكن في بعض الأحيان ربط المجالات ثنائية الأبعاد بالعقدة بطريقة مجعدة بحيث لا يمكن تنعيمها. قال تشارلز ليفينجستون ، الأستاذ الفخري بجامعة إنديانا ، إن الاعتدال "مرتبط ببعض من أعمق القضايا المتعلقة بالطبولوجيا رباعية الأبعاد" .

وقال جوشوا جرين من كلية بوسطن ، المشرف على الدراسات العليا بيسيريللو: "كانت مسألة قص عقدة كونواي معيارًا للعديد من التطورات الحديثة المتعلقة بالجوانب العامة لنظرية العقد". "كان من اللطيف جداً أن أرى كيف سحب رجل كنت أعرفه لبعض الوقت فجأة هذا السيف من الحجر."

المجالات السحرية


يتصور معظمنا أن العقدة هي قطعة من الحبل المتشابك بطرفين. ومع ذلك ، يعمل علماء الرياضيات بحبال ترتبط نهاياتها ببعضها البعض ، ونتيجة لذلك لا يمكن فك العقدة. على مدار القرن الماضي ، ساعدت هذه الحلقات المعقدة على دراسة الأسئلة من مختلف مجالات العلوم ، من فيزياء الكم إلى بنية الحمض النووي ، وكذلك من طوبولوجيا المساحات ثلاثية الأبعاد.


في مقطع الفيديو هذا لعام 1990 ، يشرح جون كونواي كيف أظهر في المدرسة الثانوية أن عقدتين لا تلغي بعضهما البعض.

ومع ذلك ، إذا أخذنا الوقت في الاعتبار كقياس ، فسيكون عالمنا رباعي الأبعاد ، لذا فمن الطبيعي أن نسأل عن وجود نظرية مناسبة للعقد في 4 د. وهذا لا يعني أنه يمكننا فقط أخذ كل العقد ثلاثية الأبعاد ودفعها إلى مساحة رباعية الأبعاد: إذا كان لديك أربعة أبعاد ، يمكنك كشف أي حلقة إذا بدأت في رفع قطع الحبل فوق بعضها البعض في البعد الرابع.

لربط عقدة في 4D ، تحتاج إلى كرة ثنائية الأبعاد ، وليس حلقة أحادية البعد. تمامًا مثل الأبعاد الثلاثة توفر مساحة كافية لربط الحلقات ، ولكن ليس لفكها ، توفر الأبعاد الأربعة مكانًا لربط المجالات ، وهو ما فعله علماء الرياضيات لأول مرة في عشرينيات القرن العشرين.

من الصعب تخيل كرة مقيدة في الفضاء الرباعي الأبعاد ، ولكن من المفيد أن نتخيل أولاً كرة عادية ثلاثية الأبعاد. إذا قطعته ، سترى حلقة غير منضم. ولكن إذا قطعت المجال المتصل بـ 4D ، فسترى حلقة متصلة (أو ربما حلقة غير متصلة أو عدة حلقات متصلة ببعضها البعض - يعتمد ذلك على مكان القطع). أي عقدة يمكن الحصول عليها عن طريق قطع كرة متصلة تعتبر مقطوعة. لا يتم قطع بعض العقد - على سبيل المثال ، عقدة ذات ثلاث تقاطعات ، trifolium.



وقال غرين إن العقد المقطوعة "تجسر القصص الثلاثية الأبعاد والأربعية الأبعاد لنظرية العقد".

ومع ذلك ، هناك مشكلة واحدة تكشف عن ثراء وخصوصية التاريخ رباعي الأبعاد: في الطبولوجيا رباعية الأبعاد ، هناك خياران مختلفان للقص. العديد من الأعمال الثورية في 1980s في وقت مبكر (التي مايكل فريدمان و سيمون دونالدسون أظهرت حصل على جائزة فيلدز) أن بعد رابع يحتوي لا على نحو سلس فقط المجالات التي كنا نتصور حدسي. كما أن لديها كرات مجعدة لا يمكن تنعيمها. ومسألة قطع العقدة تعتمد على ما إذا كان ينبغي النظر في هذه المجالات المجعدة.

قال شيللي هارفي: "هذه أشياء غريبة للغاية ، تكاد تكون سحرية"من جامعة رايس (كان من تقرير هارفي في عام 2018 أن بيسيريلو تعلم لأول مرة عن عقدة كونواي).

هذه المجالات الغريبة ليست خطأً في الطوبولوجيا الأربعة الأبعاد ، بل خصوصيتها. قطع طوبولوجي ، ولكن ليس عقدة "قطع بسلاسة" - أي عقدة عبارة عن شرائح من المجالات المجعدة - تسمح لعلماء الرياضيات بإنشاء ما يسمى المتغيرات "الغريبة" للفضاء الرباعي المعتاد. من وجهة نظر طوبولوجية ، تبدو هذه النسخ من الفضاء الرباعي الأبعاد كما هي المعتاد ، ولكن في نفس الوقت تتفتت بشكل لا رجعة فيه. إن وجود مثل هذه المساحات الغريبة يميز البعد الرابع عن كل البقية.

وقال غرين إن قضية القطع هي "أصغر مسبار" لهذه المساحات الغريبة الأربعة الأبعاد.

على مدى سنوات البحث ، اكتشف علماء الرياضيات مجموعة كاملة من العقد مقطوعة طبولوجيا ، ولكن ليس بسلاسة. ومع ذلك ، من بين العقد التي يبلغ عدد تقاطعاتها ما يصل إلى 12 تقاطعًا ، على ما يبدو ، لم تتم ملاحظتها - باستثناء محتمل لعقدة كونواي. تمكن علماء الرياضيات من معرفة قطع جميع العقد الأخرى بعدد تقاطعات لا يزيد عن 12 ، ومع ذلك ، لم يتم إعطاؤهم عقدة كونواي.

كان كونواي ، الذي توفي الشهر الماضي بسبب فيروس كورونا ، معروفًا بمساهماته المهمة في مجموعة واسعة من مجالات الرياضيات. أصبح مهتمًا بالعُقد لأول مرة في الخمسينيات ، وتوصل إلى طريقة بسيطة لسرد جميع العقد تقريبًا مع عدد التقاطعات التي تصل إلى 11 (تضمنت القوائم الكاملة السابقة فقط العقد التي يصل عدد تقاطعاتها إلى 10).

ولكن عقدة واحدة في هذه القائمة وقفت. قال غرين: "أعتقد أن كونواي أدرك أن هذه العقدة كانت مميزة إلى حد ما".

عقدة كونواي ، كما سميت لاحقًا ، هي قسم طوبولوجي - فهم علماء الرياضيات هذا الأمر في الثمانينيات كجزء من سلسلة من الاكتشافات الثورية. ومع ذلك ، لم يتمكنوا من معرفة ما إذا كان قطع سلس. لقد اشتبهوا في أن الأمر لم يكن كذلك ، لأنه لم يكن لديه ميزة مثل "الشريط" الذي يتم ملاحظته عادة في العقد الناعمة. ومع ذلك ، فإن ميزة أخرى منه لم تعط فرصة لجميع المحاولات لإظهار أن هذا القطع ليس سلسًا.

أي أن عقدة كونواي لها عقدة أخوية ، أو كما يقولون في نظرية العقد ، طفرة. إذا قمت برسم عقدة كونواي على الورق ، وقطع جزءًا معينًا منها ، وقلب جزءًا وإعادة توصيل العقدة ، فستحصل على عقدة أخرى ، تعرف باسم عقدة Kinoshita - Terasaki .


لإثبات أن عقدة كونواي ليست قطعًا سلسًا ، تم منع العلماء من خلال تشابهها مع عقدة كينوشيتا - تيراساكي. اكتشفت ليزا بيتشيريلو كيفية ربط رفيق جديد أكثر تعقيدًا بعقدة كونواي.

المشكلة هي أن هذه العقدة الجديدة هي قطع سلس. وبما أن عقدة كونواي تشبه إلى حد كبير شريحة ناعمة ، فإنها تتجنب تأثيرات جميع الأدوات (الثوابت) التي يستخدمها علماء الرياضيات لتحديد العقد التي ليست شرائح.

قال غرين: "عندما ظهر ثابت جديد ، حاولنا اختباره على عقدة كونواي". "وهذا مثال عنيد فريد من نوعه ، والذي ، بغض النظر عن الثابت ، لم يخبرنا ما إذا كانت شريحة أم لا."

قال Picchirillo عقدة كونواي "تقع في تقاطع البقع العمياء" من هذه الأدوات.

قام أحد علماء الرياضيات ، مارك هيوز من جامعة بريغهام يونغ ، بإنشاء شبكة عصبية باستخدام ثوابت العقدة ومعلومات أخرى للتنبؤ بخصائص مثل القص. بالنسبة لمعظم العقد ، تقوم الشبكة بعمل تنبؤات واضحة. هل تعرف ما قالته عن القطع السلس لعقدة كونواي؟ من 50 إلى 50.

قال ليفينغستون "بمرور الوقت ، بدأت هذه العقدة تبرز من بين أمور أخرى على أنها ليست خاضعة لنا".

يتحول صعبة


Picchirillo تحب الحدس البصري المرتبط بنظرية العقدة ، لكنها لا تعتقد أنها في المقام الأول منظرة في هذا المجال. وكتبت في رسالة إلكترونية "أنا مهتم أكثر بالأشكال ثلاثية الأبعاد والأربعية الأبعاد ، لكن دراستهم تتشابك بشكل وثيق مع نظرية العقد ، لذلك أقوم بذلك قليلاً".

وقالت إليسيندا جريسبي ، إحدى معلمات بيتشيريلو في بوسطن كوليدج ، عندما بدأت دراسة الرياضيات في الكلية ، لم تبرز باعتبارها "معجزة طفل قياسي في الرياضيات" . لاحظ Grisby لأول مرة الطبيعة الإبداعية لـ Picchirillo. "لقد كانت دائما تؤمن بصحة وجهة نظرها."

جاء السؤال المتعلق بعقدة كونواي إلى Pichchirillo عندما فكرت في ما إذا كان يمكن ربط العقد بأي شيء آخر غير الطفرات. كل عقدة لها ما يسمى ب. تتبع رباعي الأبعاد يمكن الحصول عليه إذا وضعت العقدة على حدود الكرة رباعية الأبعاد وخيطت شيئًا مثل غطاء محرك السيارة على طول العقدة. وقال جوردون إن أثر العقدة "يشفر العقدة بقوة شديدة إلى حد ما".



قد يكون للعقد المختلفة نفس الأثر رباعي الأبعاد ، وكان علماء الرياضيات يعرفون بالفعل أن الأقارب في المسارات ، على سبيل المثال ، لديهم دائمًا نفس حالة القطع - سواء تم قطعها أم لا. ومع ذلك ، أظهر Piccirillo و Allison Miller ، وهو طالب دراسات عليا من جامعة رايسأن مثل هؤلاء الأقارب لا يبدون متشابهين بالضرورة لجميع الثوابت المستخدمة لدراسة القص.

وقد أظهر هذا Picchirillo المسار إلى الاستراتيجية المستخدمة لإثبات أن عقدة كونواي ليست عقدة مقطوعة: إذا كان بإمكانها إنشاء تتبع قريب لهذه العقدة ، فربما يكون أكثر استعدادًا للعمل مع أحد الثوابت المقطوعة من عقدة كونواي نفسها.

إن بناء مثل هؤلاء الأقارب مهمة صعبة ، لكن Picchirillo كان خبيرًا في ذلك. قالت: "إنني أقوم بهذا بشكل أساسي". "لذا عدت للتو إلى المنزل وفعلت ذلك."

باستخدام مزيج مبتكر ، تمكن Pichchirillo من بناء عقدة معقدة لها نفس أثر عقدة Conway. لهذه العقدة ، أداة تسمى
يوضح "راسموسين" "c-invariant" أنه لا يتم قطعه بسلاسة - وبالتالي ، هو عقدة كونواي.

قال غوردون: "دليل جميل جدا". وفقا له ، لم يكن هناك سبب لتوقع أن العقدة التي تم إنشاؤها بواسطة Picchirillo سوف تستسلم لـ Rasmussen c-invariant. "ومع ذلك ، نجح النهج ، وهو أمر مثير للدهشة."

أدلة Pichchirillo "تتماشى مع أدلة قصيرة وغير متوقعة على النتائج المراوغة التي يمكن للباحثين في هذا المجال استيعابها سريعًا والإعجاب بها ومحاولة تعميمها - ناهيك عن التساؤل لماذا لا يمكن لأحد التفكير في هذا لفترة طويلة" كتبه جرين في البريد الإلكتروني.

وقال غرين إن آثار الأقدام هي أداة كلاسيكية موجودة منذ عدة عقود ، لكن بيكيريللو اكتشفها بشكل أفضل من غيرها. وفقا له ، أظهر عملها الطوبولوجيين أن آثار العقد يتم التقليل من شأنها. قال: "لقد أخذت بعض الأدوات المتربة قليلاً". "والآن يتبع الآخرون بالفعل مثالها".

More articles:


All Articles