قام طالب الدراسات العليا بحل مشكلة "عقدة كونواي" ، التي حاربوا حولها لعقود

استغرق الأمر ليزا Piccirillo أقل من أسبوع للإجابة على السؤال القديم حول موقع غريب اكتشف قبل أكثر من نصف قرن من قبل الأسطوري جون كونواي.

في صيف 2018 ، في مؤتمر حول الطبولوجيا والهندسة ذات الأبعاد المنخفضة ، سمعت ليزا بيتشيريلو عن مشكلة رياضية صغيرة لطيفة. بدا الأمر بمثابة أرضية اختبار جيدة لبعض الطرق التي طورتها كطالب دراسات عليا في جامعة تكساس في أوستن.

قالت: "لم أسمح لنفسي بالعمل في هذا اليوم ، لأنني لم أعتبر ذلك رياضيات حقيقية. اعتقدت أنه كان واجبي المنزلي ".

السؤال هو ما إذا كانت عقدة كونواي - رافعة تم فتحها قبل أكثر من نصف قرن من قبل عالم الرياضيات الأسطوري جون هورتون كونواي - هي قطعة من عقدة ذات أبعاد أعلى. "التفتت" هو أحد الأسئلة الطبيعية الأولى التي يطرحها منظرو العقدة حول العقد في الأماكن ذات الأبعاد الأعلى ، وكان علماء الرياضيات قادرين على الإجابة عنها لجميع الآلاف من العقد ذات 12 تقاطعًا أو أقل ، باستثناء سؤال واحد. عقدة كونواي ، التي تحتوي على 11 تقاطعًا ، كانت تثير اهتمام علماء الرياضيات منذ عقود.



ساعدها حل مشكلة عقدة كونواي ، التي اقترحتها ليزا بيتشيريللو ، في الحصول على منصب دائم في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.


في أقل من أسبوع ، كان لدى Picchirillo الجواب بالفعل: عقدة كونواي ليست "شريحة". بعد بضعة أيام ، التقت بكاميرون جوردون ، الأستاذ في جامعة أوستن ، وبصورة عابرة ذكرت قرارها.

"ماذا؟! إنها تدخل في سجلات الأحداث الآن! " - قال جوردون ، في إشارة إلى "حوليات الرياضيات" ، إحدى أفضل المجلات في هذا المجال.

بدأ بالصراخ: "لماذا لا تقفز من أجل الفرح؟" يقول Picchirillo ، وهو الآن طالب دراسات عليا في جامعة برانديز. "لقد خاف حتى قليلاً."

قال جوردون: "لا أعتقد أنها فهمت ما هي المشكلة القديمة والمشهورة".

دليل بيسيريلوظهر في حوليات الرياضيات في فبراير. قدمت هذه المقالة ، جنبًا إلى جنب مع عملها الآخر ، عرضًا للعمل الدائم في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، والذي يبدأ في 1 يوليو ، بعد 14 شهرًا فقط من إتمام الدكتوراه.

كانت مسألة قطع عقدة كونواي معروفة ليس فقط بسبب المدة التي ظلت دون حل. تمنح شرائح العقد علماء الرياضيات الفرصة لاستكشاف الطبيعة الغريبة للمساحة الرباعية الأبعاد التي يمكن فيها ربط المجالات ثنائية الأبعاد في عقدة ، وأحيانًا بطريقة مجعدة لا يمكن تنعيمها. ووفقًا لتشارلز ليفينجستون ، الأستاذ الفخري بجامعة إنديانا ، فإن الانحناء "مرتبط الآن ببعض القضايا الأكثر عمقًا في الطوبولوجيا رباعية الأبعاد."

قالت جوشوا جرين ، من كلية بوسطن ، التي أشرفت على أطروحة التخرج في بيتشيريللو خلال سنوات دراستها: "إن مسألة ما إذا كانت عقدة كونواي شريحة كانت نوعًا من الانهيار للعديد من التطورات الحديثة في المجال العام لنظرية العقدة". "كنت مسرورًا جدًا لرؤية كيف أن شخصًا عرفته منذ فترة طويلة أخرج سيفًا من حجر فجأة."

الكرة السحرية

في حين يعتقد معظمنا أن العقدة موجودة في قطعة من الخيط بطرفين ، يعتقد علماء الرياضيات أن هذين الطرفين مترابطان ، لذلك لا يمكن فك العقدة. على مدار القرن الماضي ، ساعدت هذه الدورات العقديّة في تسليط الضوء على مواضيع مختلفة ∞ من فيزياء الكم إلى بنية الحمض النووي ، وكذلك طوبولوجيا الفضاء ثلاثي الأبعاد.


شرح جون كونواي في عام 1990 كيف أظهر في المدرسة الثانوية لماذا لا يمكن أن تتوازن عقدتان.

لكن عالمنا رباعي الأبعاد إذا أدرجنا الوقت كقياس ، لذا فمن الطبيعي أن نتساءل عما إذا كانت هناك نظرية مقابلة للعقد في الفضاء رباعي الأبعاد. لا يقتصر الأمر على أخذ جميع العقد التي لدينا في مساحة ثلاثية الأبعاد وغمسها في مساحة رباعية الأبعاد: مع أربعة أبعاد للتحرك في دائرة ، يمكن فك أي حلقة معقودة إذا تحركت الخيوط واحدة فوق الأخرى في البعد الرابع .

لتصنع جسمًا معقودًا في مساحة رباعية الأبعاد ، تحتاج إلى كرة ثنائية الأبعاد ، وليس حلقة أحادية البعد. تمامًا كما توفر الأبعاد الثلاثة مساحة كافية لبناء حلقات معقودة ، ولكن لا توجد مساحة كافية لهم للكشف ، توفر الأبعاد الأربعة مثل هذه البيئة للمجالات المعقدة التي بناها علماء الرياضيات لأول مرة في عشرينيات القرن العشرين.

من الصعب تصور كرة معقودة في مساحة 4D ، لكن من المفيد التفكير في كرة عادية في مساحة ثلاثية الأبعاد أولاً. إذا قمت بقطعها ، سترى حلقة فضفاضة. ولكن عندما تقطع كرة معقودة في مساحة 4D ، يمكنك رؤية حلقة معقودة (أو ، ربما ، حلقة لا يمكن التعرف عليها أو رابط من عدة حلقات ، بدلاً من ذلك ، اعتمادًا على المكان الذي تقصه). أي عقدة يمكنك صنعها بقطع كرة معقودة تسمى "شريحة". لا يتم قطع بعض العقد ، على سبيل المثال ، عقدة ثلاثية الوصلات ، والمعروفة باسم الزهرة الثلاثية.

وقال غرين إن العقد المقطوعة "توفر جسراً بين تاريخ ثلاثي الأبعاد وأربع أبعاد لنظرية العقد".

لكن هناك تجعدًا يعطي ثراء وأصالة قصة رباعية الأبعاد: في الطبولوجيا 4D ، هناك نسختان مختلفتان لما يعنيه أن يتم قطعه. في سلسلة من التطورات الثورية في أوائل الثمانينيات (التي جلبت ميداليات إلى مايكل فريدمان وسيمون دونالدسون فيلدز) ، اكتشف علماء الرياضيات أن الفضاء رباعي الأبعاد لا يحتوي فقط على المجالات الناعمة التي نتصورها بشكل حدسي ، ولكن أيضًا المجالات التي تكسرت بشكل كبير بحيث لا يمكن تسويتها بسلاسة. يعتمد السؤال حول أي عقد عبارة عن شريحة على ما إذا قررت تضمين هذه المجالات المجعدة.

قالت شيلي هارفي من جامعة رايس: "هذه أشياء غريبة للغاية ويبدو أنها موجودة من خلال السحر". (في خطاب هارفي في عام 2018 ، علم Picchirillo لأول مرة عن مشكلة عقدة كونواي.)

هذه المجالات الغريبة ليست خطأ في الطوبولوجيا الأربعة الأبعاد ، ولكنها ميزة. العقد "المقطوعة طوبولوجياً" ولكنها ليست "مقطعة بسلاسة" - أي أنها عبارة عن قطع من بعض المجالات المجعدة ، ولكنها ليست ناعمة - تسمح للرياضيين ببناء ما يسمى بنسخ "غريبة" من الفضاء العادي رباعي الأبعاد. تبدو هذه النسخ من الفضاء الرباعي الأبعاد هي نفسها المساحة العادية من وجهة نظر طوبولوجية ، لكنها مجعدة بشكل لا رجعة فيه. يميز وجود هذه المساحات الغريبة البعد الرابع عن جميع الأبعاد الأخرى.

وقال غرين إن قضية النعومة هي "مستشعر الأبعاد الأدنى" لهذه المساحات الغريبة الأربعة الأبعاد.

على مر السنين ، اكتشف علماء الرياضيات عددًا من العقد التي تم قطعها طبولوجيا ، ولكن لم يتم قطعها بسلاسة. ومع ذلك ، من بين العقد التي تحتوي على 12 تقاطعًا أو أقل ، يبدو أنه لا يوجد - باستثناء محتمل لعقدة كونواي. يمكن لعلماء الرياضيات حساب حالة القطع لجميع العقد الأخرى التي تحتوي على 12 تقاطعًا أو أقل ، لكن عقدة كونواي استعصت عليهم.

كان كونواي ، الذي توفي بسبب COVID-19 الشهر الماضي ، معروفًا بتقديم مساهمات مؤثرة في مجال واحد من مجالات الرياضيات بعد آخر. أصبح مهتمًا أولاً بالعقد في سن المراهقة في خمسينيات القرن العشرين ، وتوصل إلى طريقة بسيطة لسرد جميع العقد تقريبًا حتى 11 تقاطعًا (وصلت القوائم الكاملة السابقة إلى 10 تقاطعات فقط).

كانت هناك عقدة واحدة في القائمة برزت. قال غرين: "أعتقد أن كونواي فهمت أن هناك شيئًا مميزًا تمامًا في هذا الأمر".

عقدة كونواي ، كما بدأوا في تسميتها ، مقطوعة طوبولوجيا - فهم علماء الرياضيات ذلك على خلفية الاكتشافات الثورية في الثمانينيات ، لكنهم لم يتمكنوا من فهم ما إذا تم قطعها بسلاسة. لقد اشتبهوا في أن الأمر لم يكن كذلك ، لأنه بدا أنه يفتقر إلى وظيفة تسمى "التضليع" ، والتي عادة ما تكون قطع العقد بسلاسة. ولكن كان لديه أيضًا ميزة جعلته محصنًا من أي محاولة لإظهار أنه لم يتم قطعه بسلاسة.

أي أن عقدة كونواي لديها نوع من الأقارب - ما يسمى بالطفرة. إذا قمت برسم عقدة كونواي على الورق ، وقمت بقطع قطعة معينة من الورق ، وقلب جزء منها ثم توصيل نهاياتها الحرة ، فستحصل على عقدة أخرى ، تعرف باسم عقدة كينوشيتا-تيراساكا .

المشكلة هي أن هذه الوحدة الجديدة تحولت بسلاسة. وبما أن عقدة كونواي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالعقدة المقطوعة السلسة ، فإنها تمكن من خداع جميع الأدوات (التي تسمى الثوابت) التي يستخدمها علماء الرياضيات للعثور على العقد بدون قطع.

قال غرين: "عندما يظهر ثابت جديد ، نحاول التحقق من ذلك على عقدة كونواي. هذا مثال عنيد واحد فقط ، بغض النظر عن الثابت الذي تتوصل إليه ، لا يخبرك ما إذا كانت هذه شريحة أم لا. ".

وقال Piccirillo عقدة كونواي "تقع عند تقاطع البقع العمياء" من هذه الأدوات المختلفة.

أنشأ أحد علماء الرياضيات ، مارك هيوز من جامعة بريغهام يونغ ، شبكة عصبية تستخدم ثوابت العقدة ومعلومات أخرى للتنبؤ بخصائص مثل القص. بالنسبة إلى معظم العقد ، تضع الشبكة توقعات واضحة. ولكن ما هو حدسه حول ما إذا تم قطع عقدة كونواي بسلاسة؟ مناصفة.

قال ليفينجستون "بمرور الوقت ، تحولت إلى عقدة لا يمكننا التعامل معها".

التقلبات الذكية والمنعطفات

تتمتع Piccirillo بالحدس البصري الذي تنطوي عليه نظرية العقدة ، لكنها لا تفكر في نفسها في المقام الأول كمنظرة عقدة. وكتبت في رسالة بالبريد الإلكتروني: "هذه بالفعل [أشكال ثلاثية الأبعاد وأربعية الأبعاد] تثيرني ، ولكن دراسة هذه الأشياء مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية العقد ، لذا أقوم أيضًا بالقليل من هذا".

قالت إليسيندا غريغسبي ، إحدى أساتذة بيتشيريلو في بوسطن كوليدج: "عندما بدأت دراسة الرياضيات لأول مرة في الكلية ، لم تبرز باعتبارها" معجزة الرياضيات الذهبية القياسية للأطفال. على الأرجح ، كان الإبداع Pichchirillo جذب انتباه Grigsby. لقد آمنت حقاً بوجهة نظرها ، وهذا ما كان دائماً كذلك.

واجهت بيسيريلو مسألة عقدة كونواي في وقت كانت تفكر فيه بطريقة مختلفة لربط عقدتين إلى جانب الطفرة. كل عقدة لها شكل رباعي الأبعاد ، يسمى أثرها ، والذي يتم إنشاؤه عن طريق وضع العقدة على حدود الكرة 4D وخياطتها عليها نوع من الغطاء على طول العقدة. وقال جوردون إن تتبع العقدة "يشفر هذه العقدة بقوة شديدة".



دعا أحد الأساتذة السابقين ، Piccirillo الإبداع - واحدة من نقاط قوته الرئيسية مثل الرياضيات.

يمكن أن يكون للعقد المختلفة نفس الأثر رباعي الأبعاد ، وقد عرف علماء الرياضيات بالفعل أن هؤلاء الأخوة التوأم للتتبع ، إذا جاز التعبير ، لديهم دائمًا نفس حالة الشريحة - إما أن يكونا شريحة أو كلاهما ليسا شريحة. لكن بيسيريللو وأليسون ميللر ، الآن طالب الدراسات العليا في رايس ، أظهروا أن هؤلاء الأشقاء النزرين لا يبدون بالضرورة متشابهين مع جميع الثوابت المعقدة المستخدمة لدراسة النعومة.

يشير هذا إلى استراتيجية Picchirillo لإثبات أن عقدة كونواي ليست شريحة: إذا كان بإمكانها بناء تقارب تتبع لعقدة كونواي ، فمن المحتمل أن تعمل بشكل أفضل مع أحد الثوابت المقطوعة من عقدة كونواي.

إن إنشاء إخوة وأخوات أثرين أمر معقد ، لكن بيتشيريللو كان خبيراً حقيقياً. قالت: "هذه فقط مهنتي". "لذا عدت للتو إلى المنزل وفعلت ذلك."

بفضل مزيج من المنعطفات البارعة ، تمكن Piccirillo من بناء عقدة معقدة لها نفس البصمة مثل عقدة Conway. بالنسبة لهذه العقدة ، تظهر أداة تسمى Rasmussen s-invariant أنها ليست قطعًا سلسًا - لذلك لا يمكن أن تكون عقدة Conway إما واحدة أو أخرى.

قال جوردون: "هذا دليل عظيم حقاً". وفقا له ، لم يكن هناك سبب لتوقع أن العقدة التي بناها Picchirillo ستخضع لثابت راسموسن. "لكنها نجحت ... بطريقة ما بشكل مدهش."

وكتب جرين في رسالة بالبريد الإلكتروني: "إن دليل بيسيريللو" يتناسب مع شكل أدلة قصيرة ومذهلة على النتائج المراوغة التي يستطيع الباحثون في هذا المجال استيعابها بسرعة والإعجاب بها والسعي لتعميمها - ناهيك عن التساؤل كيف استغرقت الكثير من الوقت ". .

تعجب غرين: "آثار الأقدام هي أداة كلاسيكية كانت موجودة منذ عقود ، لكن Picchirillo فهمت بعمق أكثر من أي شخص آخر. وأظهر عملها أن الطوبولوجيين يتم التقليل من آثار أقدامهم. التقطت بعض الأدوات التي ربما تكون متربة قليلاً. ويتبع آخرون الآن مثله ".

---

تعرف على تفاصيل كيفية الحصول على مهنة مرغوبة من الصفر أو المستوى الأعلى في المهارات والراتب من خلال الحصول على دورات SkillFactory عبر الإنترنت:

• « Data Scientist» (24 )
• « Data Analyst» (18 )
• «Python -» (9 )

• 450
• Data Science Harvard University
• 30 -
• Data Science : Cambridge Analytica