🚽 🆙 🤳 تحليل كامل للجزء الأول من الاختبار في شاد 2020 🍰 🏂🏿 🚲

مرحبا! أنا عزت كالميكوف ، القيم الفني في ShAD Helper. نواصل سلسلة مقالاتنا التي نحلل فيها مهام الدخول في SHAD. هذه المرة نحن (نيكولاي بروسكورين وألكسندر كوريلكين) سننظر في قرارات المرحلة الأولى من الاختيار في SHAD هذا العام ، والتي انتهت مؤخرًا. لذلك دعونا نبدأ.

أ. الحد الأدنى المحلي

في أي قيم للمعلمة مضاد مشتقة للدالة

f (x) = (x^{4} - (a + 1) x^{3} + (a - 2) x^{2} + 2 a x) \exp^{\frac{\sin x^{2} + 2}{5 x^{2} + 2}}

$f(x)=\left(x^{4}-(a+1) x^{3}+(a-2) x^{2}+2 a x\right) \exp ^{\frac{\sin x^{2}+2}{5 x^{2}+2}}$ لديها حد أدنى محلي واحد على الأكثر؟

القرار

, — . , . , , ( ).

, , , ,

f (x) = x^{4} - (a + 1) x^{3} + (a - 2) x^{2} + 2 a x

$f(x) = x^4 - (a + 1)x^3 + (a - 2)x^2 + 2ax$ . , :

- 1, 0, 2, a

$-1, 0, 2, a$ . ,

f (x) = (x + 1) x (x - 2) (x - a)

$f(x) = (x + 1)x(x - 2)(x - a)$ .

,

+ \to - \to + \to - \to +

$+ \to - \to + \to - \to +$ , . ,

a = - 1, 0, 2

$a = -1, 0, 2$ . , .

ب. الحد

حدد القيمة

a

$a$ هذا الحد

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ :

lim_{x \to + inf} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{\frac{x}{a}}

$\lim _{x \rightarrow +\inf }\left(\cos \sqrt{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{x}{a}}$

القرار

a = 1

$a = 1$ .

\sqrt{\frac{1}{x}} \to 0

$\sqrt{\frac{1}{x}} \to 0$ , :

\cos \sqrt{\frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{2! x} + \frac{1}{4! x^{2}} - \frac{1}{6! x^{3}} + \dots

$\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}} = 1 - \frac{1}{2!x} + \frac{1}{4!x^2} - \frac{1}{6!x^3} + \ldots$

. , , , , . , . :

1 - \frac{1}{2 x} < \cos \sqrt{\frac{1}{x}} < 1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}}

$1 - \frac{1}{2x} < \cos{\sqrt{\frac{1}{x}}} < 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2}$

x \to + \infty

$x \to +\infty$ ,

x

$x$ , . ,

e^{- 1 / 2}

$e^{-1/2}$ . , :

lim_{x \to + \infty} {(1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}})}^{x} = \exp (lim_{x \to + \infty} x \ln (1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}})) =

$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2} \right)^x = \exp\left(\lim_{x \to +\infty} x \ln\left( 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2} \right)\right) =$

= \exp (lim_{x \to + 0} \frac{\ln (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{24})}{x})

$= \exp\left(\lim_{x \to +0} \frac{\ln\left( 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} \right)}{x}\right)$

, . :

lim_{x \to + \infty} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{x} = e^{- 1 / 2} \Rightarrow lim_{x \to + \infty} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{x / a} = e^{- 1 / 2 a}

$\lim_{x \to +\infty} \left(\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}}\right)^x = e^{-1/2} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \left(\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}}\right)^{x/a} = e^{-1/2a}$

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$ .

: , , .

ج. الحد الأدنى المحلي

عند الحد الأدنى لطول الخطوة ، لا يمكن أن يجد أصل التدرج الحد الأدنى من الوظيفة

x^{4} + \cos 2

$x^4+\cos 2$ ، إذا

x_{0} = 1

$x_0=1$ ؟؟؟

القرار

, :

x_{k} + 1 = x_{k} - λ ▽ f (x_{k})

$x_k+1 = x_k - \lambda \triangledown f(x_k)$

.

— , .

▽ f (x_{k}) = 4 x_{k}^{3}

$\triangledown f(x_k) = 4x_k^3$

x_{0}

$x_0$ ,

x_{1}

$x_1$ :

x_{1} = x_{0} - λ 4 x_{0}^{3} = 1 - 4 λ

$x_1 = x_0 - \lambda 4x_0^3 = 1 - 4\lambda$

x_{1} = - 1

$x_1=-1$ ,

x_{0}

$x_0$ , . , , «» -

1

$1$

- 1

$-1$ . , ,

x_{1} = - 1 \Leftrightarrow λ = 0.5

$x_1=-1 \Leftrightarrow \lambda=0.5$ (

0

$0$ ). ,

λ

$\lambda$ .

, .

| x_{n + 1} | \leq | x_{n} | | 1 - 4 λ |

$|x_{n+1}| \leq |x_n||1-4\lambda|$ . ,

0.5 > λ > 0 \Rightarrow | 1 - 4 λ | < 1

$0.5 > \lambda > 0 \Rightarrow |1 - 4\lambda| < 1$

:

| x_{1} | = | 1 - 4 λ | \leq 1 | 1 - 4 λ | = x_{0} | 1 - 4 λ |

$|x_1| = |1 - 4\lambda| \leq 1 |1 - 4\lambda| = x_0 |1-4\lambda|$

.

| x_{n + 1} | = | x_{n} - 4 λ x_{n}^{3} | = | x_{n} | | 1 - 4 λ x_{n}^{2} |

$|x_{n+1}| = |x_n - 4\lambda x_n^3| = |x_n| |1-4\lambda x_n^2|$ .

x_{n} < 1 \Rightarrow x_{n}^{2} < 1

$x_n < 1 \Rightarrow x_n^2 < 1$ .

| x_{n + 1} | \leq | x_{n} | | 1 - 4 λ |

$|x_{n+1}| \leq |x_n||1-4\lambda|$ . .

, ,

| x_{n} | \leq | x_{0} | | 1 - 4 λ |^{n} = | 1 - 4 λ |^{n}

$|x_n|\leq |x_0||1-4\lambda|^n = |1-4\lambda|^n$ . ,

| 1 - 4 λ | < 1

$|1-4\lambda| < 1$ ,

| x_{n} |

$|x_n|$ . .

D. ناقل الخاصة

حدد أي قيم للمعلمة متجه

(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array})

$\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array}\right)$ هو المتجه الذاتي للمصفوفة

(\begin{array}{ccc} a & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

القرار

v \neq 0

$v \neq 0$

A

$A$ ,

\exists λ

$\exists \lambda$ :

A v = λ v

$Av = \lambda v$ . :

(\begin{matrix} a & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 - a \\ a \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ a \end{matrix})

$\begin{pmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 - a \\ a \\ \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \\ \end{pmatrix}$

λ = 1

$\lambda = 1$ , —

a = 2

$a = 2$ , , . ,

a = 2

$a = 2$ .

E. المؤهل

عند ما قيم المعلمة

a

$a$ أقصى محدد لعكس المصفوفة لهذا؟

(\begin{array}{ccc} a & - 7 & - 3 \\ 6 & - 10 & - a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc} a & -7 & -3 \\ 6 & -10 & -a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{array}\right)$

القرار

det (a) = | \begin{matrix} a & - 7 & - 3 \\ 6 & - 10 & - a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{matrix} | = a | \begin{matrix} - 10 & - a^{2} \\ a & 9 \end{matrix} | - 6 | \begin{matrix} - 7 & - 3 \\ a & 9 \end{matrix} | = a^{4} - 108 a + 376

$\det(a) = \begin{vmatrix} a & -7 & -3 \\ 6 & -10 & -a^2 \\ 0 & a & 9 \\ \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} -10 & -a^2 \\ a & 9 \\ \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} -7& -3 \\ a & 9 \\ \end{vmatrix} = a^4 - 108a + 376$

{det}^{'} (a) = 4 a^{3} - 108 = 0 \Leftrightarrow a = 3

$\det'(a) = 4a^3 - 108 = 0 \Leftrightarrow a = 3$

, , , , ,

det (a)

$\det(a)$ ,

det (a) \geq det (3) > 0

$\det(a) \geq \det(3) > 0$

a = 3

$a = 3$ . ,

det (A^{- 1}) = det (A)^{- 1}

$\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$ , ,

a = 3

$a = 3$ .

F. الإسقاطات

النقاط المعطاة

B (1, 2, - 3)

$B(1,2,−3)$ و

C (2, 2, 1)

$C(2,2,1)$ وكذلك الطائرة

α

$\alpha$ :

2 x - 2 y + z = 0

$2x−2y+z=0$ و

β

$β$ :

- x + 2 y + 3 z = 0

$−x+2y+3z=0$ . ابحث عن إحداثيات النقطة

A

$A$ إذا كان من المعروف أن إسقاطها المتعامد عليها

α

$\alpha$ يتزامن مع إسقاط النقطة

B

$B$ ولكن في

β

$\beta$ - مع إسقاط نقطة

С

القرار

A = (x, y, z)

$A = (x, y, z)$ ,

B

$B$ , ,

B

$B$ . , ,

α

$\alpha$

{\bar{n}}_{1} (2, - 2, 1)

$\overline{n}_1(2, -2, 1)$ . :

{\begin{cases} x = 2 t_{1} + 1 \\ y = - 2 t_{1} + 2 \\ z = t_{1} - 3 \end{cases}

$\begin{cases} x = 2t_1 + 1\\ y = -2t_1 + 2\\ z = t_1 - 3\\ \end{cases}$

A

$A$ ,

C

$C$

β

$\beta$ . :

{\bar{n}}_{2} (- 1, 2, 3)

$\overline{n}_2(-1, 2, 3)$ , :

{\begin{cases} x = - t_{2} + 2 \\ y = - 2 t_{2} + 2 \\ z = 3 t_{2} + 1 \end{cases}

$\begin{cases} x = -t_2 + 2\\ y = -2t_2 + 2\\ z = 3t_2 + 1\\ \end{cases}$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$ , :

{\begin{cases} 2 t_{1} + 1 = - t_{2} + 2 \\ - 2 t_{1} + 2 = 2 t_{2} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 = t_{2} + 4 \\ - 2 t_{1} + 2 = 2 t_{2} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t_{2} = - 1 \\ t_{1} = 1 \end{cases}

$\begin{cases} 2t_1 + 1 = -t_2 + 2\\ -2t_1 + 2 = 2t_2 + 2\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = t_2 + 4\\ -2t_1 + 2 = 2t_2 + 2\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t_2 = -1\\ t_1 = 1\\ \end{cases}$

, ,

A (3, 0, - 2)

$A(3, 0, -2)$ , .

دومينو

في كوكبة Tau Ceti البعيدة ، على كل نصف مفصل الدومينو من

0

$0$ قبل

N

$N$ لكل زوج من الأرقام

(a, b)

$(a,b)$ مثل ذلك

a

$a$ و

b

$b$ كله من

0

$0$ قبل

N

$N$ ، يوجد دومينو واحد يحتوي على هذين الرقمين. سافر سائح الفضاء إلى الداخل والتقط المفصل المقلوب بشكل عشوائي. في أي

N

$N$ سيكون التوقع الرياضي لوحدة الاختلاف في عدد النقاط على أحد النصف الآخر من هذا الدومينو متساويًا

2

$2$ ؟؟؟

القرار

ξ

$\xi$ ,

Ω

$\Omega$

ξ (Ω)

$\xi(\Omega)$ . :

E (ξ) = \sum_{k \in ξ (Ω)} k Pr [ξ = k] = 2

$E(\xi) = \sum_{k \in \xi(\Omega)} k \Pr[\xi = k] = 2$

A_{k}

$A_k$ — ,

K

$K$ ,

Pr [ξ = k] = \frac{| A_{k} |}{| Ω |}

$\Pr[\xi = k] = \frac{|A_k|}{|\Omega|}$ .

| Ω |

$|\Omega|$ , :

\sum_{k \in ξ (Ω)} k | A_{k} | = 2 | Ω |

$\sum_{k \in \xi(\Omega)} k |A_k|= 2 |\Omega|$

| Ω |

$|\Omega|$ . -, . -, , . ,

| Ω | = n + 1 + \frac{n (n + 1)}{2}

$|\Omega| = n + 1 + \frac{n(n + 1)}{2}$

.

. , 0

n

$n$ .

k

$k$ ?

n - k + 1

$n - k + 1$ : —

(0, k), (1, k + 1), \dots, (n - k, n)

$(0, k), (1, k + 1), \ldots, (n - k, n)$ . :

\sum_{k \in ξ (Ω)} k | A_{k} | = \sum_{k = 0}^{n} k (n - k + 1) = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} k - \sum_{k = 0}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1)^{2}}{2} -

$\sum_{k \in \xi(\Omega)} k |A_k| = \sum_{k = 0}^n k(n - k + 1) = (n + 1)\sum_{k = 0}^n k - \sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n + 1)^2}{2} -$

- \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$- \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$

\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} = (n + 1) (n + 2)

$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} = (n + 1)(n + 2)$

n > 0

$n > 0$ , ,

n = 6

$n = 6$ .

حاء الامتحان

قرر صديقان الذهاب معًا للامتحانات في SHAD واتفقا على الاجتماع عند المدخل من الساعة 14:00 إلى 15:00 ، لكنهما لم يتفقا في أي وقت. يتم توزيع لحظة وصول كل منهم بالتساوي خلال هذه الفترة الزمنية ، لكن الأصدقاء نفد صبرهم ، لذلك بعد 15 دقيقة من الانتظار ، يشعرون باليأس من الانتظار والدخول وحدهم. من المعروف أنهم التقوا.

أوجد احتمال أن كلاهما جاء قبل 14:45.

القرار

, , . , 60x60. x , y — .

« » . « 14:45» 2 . , , , , « 14:45» , « » 3 . ,

\frac{5}{7}

$\frac{5}{7}$ .

I. متغير عشوائي

كثافة التوزيع لمتغير عشوائي

ξ

$\xi$ يساوي

p (x) = \frac{1}{\sin x}

$p(x)=\frac{1}{\sin x}$ في

x

$x$ من عند

π / 2

$\pi/2$ قبل

2 \arctan e

$2 \arctan e$ والصفر لجميع الآخرين

x

$x$ .

أوجد قيمة لا يتجاوزها هذا المتغير العشوائي باحتمال

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

القرار

Pr (ξ \leq x) = \int_{π / 2}^{x} \frac{d t}{\sin t} = \int_{1}^{\tan x / 2} \frac{d u}{u} = \ln \tan \frac{x}{2}

$\Pr(\xi \leq x) = \int\limits_{\pi/2}^x \frac{dt}{\sin{t}} = \int\limits_{1}^{\tan{x/2}} \frac{du}{u} = \ln{\tan{\frac{x}{2}}}$

\ln \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = e^{1 / 2} \Leftrightarrow x = 2 \tan^{- 1} e^{1 / 2}

$\ln{\tan{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan{\frac{x}{2}} = e^{1/2} \Leftrightarrow x = 2 \tan^{-1}{e^{1/2}}$

ج- ابحث عن المتوسط

حالة

	2
	256Mb
	input.txt
	output.txt

. : n

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}

$a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ .

- !

l r. .

l

$l$

r

$r$ :

\sqrt[r - l + 1]{a_{l} \cdot a_{l + 1} \cdot \dots \cdot a_{r}}

$\sqrt[r-l+1]{a_{l} \cdot a_{l+1} \cdot \ldots \cdot a_{r}}$

n

$n$ (

1 \leq n \leq 300 000

$1 \leq n \leq 300 000$ ).

n

a_{i}

$a_i$ (

0.01 \leq a_{i} \leq 100

$0.01 \leq a_i \leq 100$ ) .

q

$q$ (

1 \leq q \leq 100 000

$1 \leq q \leq 100 000$ ) — .

q

$q$

l_{i}

$l_i$

r_{i}

$r_i$ (

0 \leq l_{i} \leq r_{i} < n

$0 \leq l_i \leq r_i < n$ ) —

i

$i$ - .

6 .

.

1


8 79.02 36.68 79.83 76.00 95.48 48.84 49.95 91.91 10 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 1 7 2 7	79.020000 53.837288 61.391865 64.756970 69.986085 65.913194 63.352986 66.369195 64.735454 71.164108

2


1 1.00 1 0 0	1.000000

3


8 1.34 1.37 1.40 1.44 1.91 1.95 1.96 1.97 5 1 4 2 7 4 6 0 3 2 6	1.515518 1.752724 1.939879 1.387008 1.712233

x y = e^{\ln x + \ln y}

$xy = e^{\ln x + \ln y}$ . .

القرار

О (1)

$(1)$ ,

O (1)

$O(1)$ .

. sums,

s u m s [i] = a [0] + a [1] + \dots + a [i]

$sums[i] = a[0] + a[1] + \dots + a[i]$ .

s u m s [i] = s u m s [i - 1] + a [i]

$sums[i] = sums[i - 1] + a[i]$ ,

O (n)

$O(n)$ .

l

$l$

r

$r$ —

s u m s [r] - s u m s [l - 1]

$sums[r] - sums[l - 1]$ . ,

r - l + 1

$r - l + 1$ .

O (1)

$O(1)$

O (n)

$O(n)$ .

. , , , . , ,

e

$e$ . ,

\ln ((a [l] \cdot . . . \cdot a [r])^{\frac{1}{r - l + 1}}) = \frac{\ln a [l] \cdot \dots \cdot a [r]}{r - l + 1} = \frac{\ln a [l] + \dots + \ln a [r]}{r - l + 1}

$\ln ((a[l] \cdot ... \cdot a[r])^{\frac{1}{r - l + 1}}) = \frac{\ln a[l] \cdot \dots \cdot a[r]}{r - l + 1} = \frac{\ln a[l] + \dots + \ln a[r]}{r - l + 1}$ ,

О (1)

$(1)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/0b0d8496785169a8ac0d35a8c9e8e59f

K. حذف الأخير

حالة

	2
	256Mb
	input.txt
	output.txt

a

$a$

n

$n$ . .

, .

, , .

n

$n$ (

1 \leq n \leq 300 000

$1 \leq n \leq 300 000$ ).

n

$n$

a_{i}

$a_i$ (

0 \leq a_{i} \leq 1 000 000 000

$0 \leq a_i \leq 1 000 000 000$ ).

m

$m$ (

0 \leq m < n

$0 \leq m < n$ ) — , .

m

$m$ — , . , , .

1


10 1 1 5 2 4 3 3 4 2 5	5 1 5 2 4 3

2


1 1000000000	0

3


10 1 2 3 3 2 1 4 1 2 0	5 1 2 3 2 1

القرار

unordered_set (C++) / HashSet (Java) / set (Python), . , , . , . , -. reverse

O (n)

$O(n)$ . -

О (1)

$(1)$ ,

O (n)

$O(n)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/2fef745e23c23eb020f21878980cae08

لوحة الإعلانات

حالة

	3
	256Mb
	input.txt
	output.txt

, .

W \times H

$W × H$ , a b. , . , .

. , , . , .

.

(0, 0)

$(0, 0)$ , —

(W, H)

$(W, H)$ . .

, .

W

$W$ ,

H

$H$

a

$a$ ,

b

$b$ (

1 \leq W

$1 \leq W$ ,

H \leq 100 000

$H \leq 100 000$ ,

1 \leq a \leq W

$1 \leq a \leq W$ ,

1 \leq b \leq H

$1 \leq b \leq H$ ).

n

$n$ (

0 \leq n \leq 100

$0 \leq n \leq 100$ ) — .

n

$n$

(x_{l d}, y_{l d})

$(x_{ld}, y_{ld})$

(x_{r u}, y_{r u})

$(x_{ru}, y_{ru})$ (

0 \leq x_{l d} < x_{r u} \leq W, 0 \leq y_{l d} < y_{r u} \leq H

$0 \leq x_{ld} < x_{ru} \leq W, 0 \leq y_{ld} < y_{ru} \leq H$ ). , .. .

(x_{l d}, y_{l d})

$(x_{ld}, y_{ld})$

(x_{r u}, y_{r u})

$(x_{ru}, y_{ru})$ , .

a

$a$ (,

b

$b$ ). .

.

, .

1


11 8 2 7 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	9 0 11 8

2


11 8 7 3 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	4 0 11 3

3


11 8 4 4 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	7 4 11 8

القرار

, . ,

W * n

$W * n$ .

x

$x$ (

0

$0$

W - a

$W - a$ ), . ,

x

$x$

x + a

$x + a$ , . , «»

x

$x$

x + a

$x + a$ ,

y

$y$ - . ,

(y_{1}, y_{2})

$(y_1, y_2)$ ,

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$ —

y

$y$ - , .

y_{2}

$y_2$ —

y_{1}

$y_1$ .

,

(0, 0)

$(0, 0)$

(h, h)

$(h, h)$ , . , , , . , , . , , .

.

O (W * n * \log n)

$O(W * n * \log n)$

O (n)

$O(n)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/2c07ebdd866ce20a4b5f5e6ee7408ad7

تحليل كامل للجزء الأول من الاختبار في شاد 2020

أ. الحد الأدنى المحلي

ب. الحد

ج. الحد الأدنى المحلي

D. ناقل الخاصة

E. المؤهل

F. الإسقاطات

دومينو

حاء الامتحان

I. متغير عشوائي

ج- ابحث عن المتوسط

1

2

3

K. حذف الأخير

1

2

3

لوحة الإعلانات

1

2

3

More articles: