Get best of the week

جسر رياضي "مذهل" يمتد إلى ما وراء نظرية فيرما العظيمة

اكتشف علماء الرياضيات كيفية إطالة الجسر الغامض الذي يربط القارتين البعيدين من العالم الرياضي




عندما أثبت أندرو جون وايلز نظرية فيرمات الكبرى في أوائل التسعينيات ، كانت خطوة هائلة ليس فقط للرياضيين ، ولكن للبشرية جمعاء. بيان النظرية بسيط للغاية - يدعي أن المعادلة x n + y n = z nلا توجد حلول إيجابية كاملة لـ n> 2. ومع ذلك ، جذب هذا البيان البسيط عددًا كبيرًا من الأشخاص الذين يرغبون في إثبات ذلك لأكثر من 350 عامًا ، منذ أن رسم عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات بيان النظرية عرضًا في عام 1637 على هامش "الحساب" لديوفانتوس. كما أن صياغة فيرمات مشهورة أيضًا: "لقد وجد دليلاً رائعًا حقًا على ذلك ، ولكن هوامش الكتاب ضيقة للغاية بالنسبة له". لقرون ، كان علماء الرياضيات المحترفون وهواة الهواة يبحثون عن دليل فيرمات - أو أي شيء آخر.

الدليل الذي حصل عليه ويلز في نهاية المطاف (بمساعدة ريتشارد تايلور ) لم يكن ليحدث لفرمات. لم يؤثر ذلك بشكل مباشر على النظرية ، لكنه بنى جسراً هائلاً ، كان يفترض ، حسب علماء الرياضيات ، أنه موجود - جسر بين قارتين رياضيتين بعيدتين. جاء دليل ويلز على تحديد هذا الجسر الذي يربط بين قطعتين صغيرتين من الأرض بين قارتين. كان الدليل مليئًا بالأفكار الجديدة والعميقة ، وتسلسل سلسلة من النتائج الجديدة على جانبي هذا الجسر.

من وجهة النظر هذه ، حلت الأدلة الرائعة على Wiles جزءًا صغيرًا من لغز أكبر بكثير. قال توبي غي إن برهانه كان "أحد أفضل أحداث الرياضيات في القرن العشرين"من امبريال كوليدج لندن. ومع ذلك فهو ينتمي إلى "الجسر الصغير" للجسر ، والمعروف باسم المراسلات الهندسية لانغلاندز .

سيسمح الجسر بأكمله لعلماء الرياضيات بإلقاء الضوء على المساحات الشاسعة من الرياضيات ، ونقل المفاهيم من جزء إلى آخر. يبدو أن العديد من المهام ، بما في ذلك نظرية فيرما العظيمة ، صعبة على جانب واحد من الجسر ، ولكنها تتحول بسرعة إلى مهام أسهل ، والانتقال إلى الجانب الآخر.

بعد أن توصل ويلز إلى برهانه ، بدأ علماء الرياضيات الآخرون بتوسيع هذا الجسر بحماس إلى أقسام أكبر من القارتين. ثم واجهوا عقبة. هناك اتجاهان طبيعيان لتوسيع هذا الجسر ، ولكن يبدو أن أسلوب تايلور وايلز في كلاهما يواجه حاجزًا لا يمكن التغلب عليه. قالت آنا كاراياني ، من إمبريال كوليدج لندن ، إن


عالم الرياضيات أندرو وايلز ، الذي أثبت النظرية العظيمة لفيرمات وحصل على جائزة أبيل في عام 2016:

"لطالما أراد الناس القيام بذلك" . لكن "بشكل عام ، لم نعتقد أن هذا ممكن من حيث المبدأ".

الآن عملان - يمثلان تتويجا لأعمال أكثر من عشرة علماء رياضيات - قد تغلبوا على هذا الحاجز ، وحل كلتا المشكلتين بشكل أساسي. في يوم من الأيام ، يمكن لهذه الاكتشافات أن تساعد علماء الرياضيات في إثبات نظرية فيرمات الكبرى لنظام عددي يتجاوز الأعداد الصحيحة الإيجابية.

قال ماثيو إيمرتون من جامعة شيكاغو ، إن هذه "أفضل النتائج" . "تكشف عن بعض الظواهر الأساسية من نظرية الأعداد ، وقد بدأنا للتو في فهم ما هي عليه."

إبرة في الفراغ


يتركز أحد جانبي جسر لانغلاندز على أبسط المعادلات تقريبًا التي يمكن كتابتها: هذه هي معادلات ديوفانتين ، أو مجموعات من المتغيرات مع الأسي والمعاملات الصحيحة ، على سبيل المثال ، y = x 2 + 6x + 8 ، أو x 3 + y 3 = ض 3 . لآلاف السنين ، حاول علماء الرياضيات معرفة مجموعات الأعداد الصحيحة التي تلبي معادلة ديوفانتين معينة. في الأساس ، يعتمد دافعهم على بساطة هذه المشكلة وطبيعتها ، ولكن في الآونة الأخيرة ، تلقى جزء من عملهم استمرارًا غير متوقع في مجالات مثل التشفير.

منذ اليونان القديمة ، عرف علماء الرياضيات طريقة لإيجاد حلول صحيحة لمعادلات Diophantine بمتغيرين فقط ولا تزيد درجاتهم عن 2. ومع ذلك ، في حالة الدرجات الأعلى ، فإن إيجاد حلول صحيحة ليس بأي حال من الأحوال مسألة بسيطة - بدءًا من المنحنيات البيضاوية. هذه هي المعادلات التي تكون فيها y 2 على يسار علامة المساواة ، وعلى اليمين مجموعة من المصطلحات بحد أقصى لدرجة 3 ، على سبيل المثال ، x 3 + 4x + 7. قال غي أنه مقارنة بالمعادلات ذات الدرجات الأقل ، هذه هي " مشكلة أكثر تعقيدًا جذريًا ".

على الجانب الآخر من الجسر ، توجد كائنات حية تسمى الأشكال الآلية ، والتي تشبه بلاط التلوين بدرجة عالية جدًا من التماثل. في الحالات التي درسها Wiles ، قد يشبه البلاط شيء مشابه لفسيفساء Escher ، حيث تنخفض الأسماك أو الملائكة مع الشياطين الظاهرة على الأقراص عند اقترابها من الحدود. في عالم Langlands الأكثر عمومية ، يمكن للبلاط أن يمهد كرة ثلاثية الأبعاد أو شكل آخر بأبعاد أعلى.

هذان النوعان من الأشياء الرياضية مختلفان تمامًا عن بعضهما البعض. ومع ذلك ، في منتصف القرن العشرين ، بدأ علماء الرياضيات في الكشف عن العلاقات العميقة بينهم ، وبحلول بداية السبعينيات ، أعرب روبرت لانجلاندز من معهد الدراسات المتقدمة عن الفرضية القائلة بأن معادلات ديوفانتين وأشكال آلية يمكن ربطها ببعضها البعض.


روبرت لانغلاندز ، الذي طرح فرضية الامتثال قبل 50 عامًا ، يلقي محاضرة في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، نيو جيرسي ، في عام 2016.

وهي: في كل من معادلات ديوفانتين وفي الأشكال الآلية هناك طريقة طبيعية لتوليد تسلسل لا نهائي من الأرقام. بالنسبة لمعادلات ديوفانتين ، يمكن حساب عدد الحلول في الحساب المعياري (يمكن تمثيلها كأرقام موجودة على وجه الساعة ؛ على سبيل المثال ، في حالة الاتصال الهاتفي لمدة 12 ساعة ، 10 + 4 = 2). وبالنسبة لهذه الأشكال الآلية التي تظهر وفقًا لـ Langlands ، يمكنك الحصول على قائمة لا نهائية من الأرقام المشابهة لمستويات الطاقة الكمومية.

إذا استخدمنا الحساب المعياري بناءً على الأعداد الأولية فقط ، فوفقًا لـ Langlands ، سيتزامن هذان النوعان من المتسلسلات في مجموعة واسعة بشكل مذهل من الظروف المختلفة. وبعبارة أخرى ، بالنسبة لأي شكل آلي ، تتحكم مستويات طاقته في التسلسل المعياري لمعادلة ديوفانتين ، والعكس صحيح.

قال إيميرتون إن هذا الاتصال "أغرب من التخاطر". "إن الطريقة التي يتواصل بها هذان الجانبان تبدو مذهلة ولا تصدق ، على الرغم من أنني كنت أدرس هذه الظاهرة منذ أكثر من 20 عامًا."

في الخمسينات والستينات من القرن الماضي ، وجد علماء الرياضيات العلامات الأولى لوجود هذا الجسر في أحد الاتجاهات: كيفية الانتقال من أشكال آلية معينة إلى منحنيات بيضاوية ذات معاملات تكون أرقامًا منطقية (كسور تتكون من أعداد صحيحة). ثم ، في التسعينات ، وجد ويلز ، مع تايلور ، اتجاهًا آخر للجسر لعائلة معينة من المنحنيات البيضاوية. أنتجت نتيجتهم تلقائيًا إثباتًا لنظرية فيرما العظيمة ، لأن علماء الرياضيات قد أظهروا بالفعل أنه إذا كان غير صحيح ، فإن واحدًا على الأقل من هذه المنحنيات البيضاوية لن يكون له شكل آلي مماثل.

كانت نظرية فيرمات العظيمة بعيدة عن الاكتشاف الوحيد الذي أعقب بناء هذا الجسر. على سبيل المثال ، استخدمها علماء الرياضيات لإثبات ذلكفرضية ساتو تيت ، وهي مشكلة عمرها عشرات السنين تتعلق بالتوزيع الإحصائي لعدد الحلول المعيارية لمنحنى بيضاوي الشكل ، وكذلك لإثبات الفرضية المتعلقة بمستويات الطاقة للأشكال الآلية ، والتي تم التعبير عنها من قبل عالم الرياضيات الأسطوري في بداية القرن العشرين سرينيفاسا رامانوجان إينجور .

بعد أن نشر Wiles و Taylor نتائجهما ، أصبح من الواضح أن طريقتهما لا تزال مليئة بالإمكانيات. سرعان ما أدرك علماء الرياضيات كيفية توسيعه إلى منحنيات بيضاوية ذات معاملات عقلانية. في وقت لاحق ، اكتشف علماء الرياضيات كيفية تغطية المعاملات بأرقام غير منطقية بسيطة ، مثل 3 + √2.

لكن ما لم ينجحوا فيه هو توسيع طريقة تايلور ويلز إلى منحنيات بيضاوية ذات معاملات معقدة ، مثل i (√-1) أو 3 + i أو √2i. أيضا ، لم يتمكنوا من التعامل مع معادلات ديوفانتين بسلطات أكثر بكثير من المنحنيات الإهليلجية. تم حل المعادلات ذات الدرجة 4 على الجانب الأيمن من علامة المساواة بدلاً من 3 بسهولة باستخدام طريقة Taylor-Wiles ، ولكن بمجرد زيادة الدرجة إلى 5 ، توقفت الطريقة بالفعل عن العمل.

بدأ علماء الرياضيات تدريجيًا في إدراك أن المشكلة مع هذين الامتدادين الطبيعيين لجسر لانغلاندز لم تكن فقط للتوصل إلى تحسن طفيف في طريقة تايلور ويلز. يبدو أن العقبة كانت أساسية.

قال غي هذه كانت "الأمثلة التالية التي حدثت لي". "لكنهم قالوا لك: لا ، هذه الأشياء بعيدة المنال.

كانت المشكلة هي أن طريقة تايلور وايلز وجدت شكلًا آليًا يتوافق مع معادلة ديوفانتين عن طريق تقريبها على التوالي باستخدام أشكال آلية أخرى. ومع ذلك ، عندما تحدث أرقام معقدة أو قوة أعلى من الرابعة في معاملات المعادلات ، يكون هناك عدد قليل جدًا من الأشكال الآلية - بحيث لا يحتوي أي شكل تقريبًا تقريبًا على أقرب أشكال آلية يمكن استخدامها لتقريبها.

تحت Emiles ، الشكل التلقائي الذي نحتاجه يشبه "إبرة في كومة قش ، لكن هذا المكدس موجود بالفعل ،" قال Emerton. "وهذا يمكن مقارنته بكومة من برادة معدنية ، والتي تحضر لها مغناطيسًا - تتم محاذاة الملفات وتشير إلى الإبرة التي تحتاجها."

ومع ذلك ، في حالة المعاملات المعقدة أو درجات أعلى مرتبة ، وفقا له ، فإنه أكثر "يشبه الإبرة في الفراغ".

رحلة إلى القمر


نشأ العديد من خبراء نظرية الأعداد اليوم في وقت جاء فيه ويلز ببرهانه. يتذكر غاي ، الذي كان يبلغ من العمر 13 عامًا في ذلك الوقت: "كان هذا هو المثال الوحيد للرياضيات الذي رأيته في الصفحات الأولى من الصحف". "لقد ألهم الكثير من الناس ، وأرادوا معرفة ذلك ، ونتيجة لذلك ، بدأوا العمل في هذا المجال".

لذلك ، عندما اقترح اثنان من علماء الرياضيات - فرانك كاليجاري من جامعة شيكاغو وديفيد جيراتي (باحث فيسبوك حاليًا) - في عام 2012 ، طريقة للتغلب على العائق الذي لم يسمح بتوسيع طريقة تايلور ويلز ، أثارت هذه الفكرة مراجعات شديدة من جيل جديد من خبراء نظرية الأعداد.

وقال جاي إن عملهم أظهر أن "هذه العقبة الأساسية التي أعاقت تقدمنا ​​لم تكن عقبة على الإطلاق". وأوضح أنه ، في الواقع ، تشير القيود الواضحة لطريقة تايلور ويلز إلى أنك "شعرت بظل طريقة حقيقية أكثر عمومية قدمها لنا كاليغاري وجيراتي."


ديفيد غيراتي في جامعة بوسطن عام 2015

في الحالات التي تنشأ فيها عقبة فجأة ، تعيش الأشكال الآلية على بلاطات ذات أبعاد أعلى من بلاطات إيشر ثنائية الأبعاد التي درسها ويلز. في هذه العوالم ذات الأبعاد الأعلى ، من غير المريح أن تكون الأشكال الآلية نادرة جدًا. لكن البلاط ذو الأبعاد الأعلى غالبًا ما يعطي بنية أكثر ثراءً مما يمكن أن تقدمه الأبعاد الثنائية. جاء كاليغاري وجيراتي بفكرة استخدام هذا الهيكل الغني للتعويض عن نقص الأشكال الآلية.

بتعبير أدق ، لكل شكل آلي محدد ، يمكنك استخدام "تلوين" بلاطه كأداة قياس يمكنها حساب متوسط ​​لون أي جزء من البلاط الذي اخترته. في حالة ثنائية الأبعاد ، فإن الأشكال الآلية هي في الواقع أداة القياس الوحيدة المتاحة. لكن للبلاط ذات الأبعاد الأعلى أدوات جديدة ، ما يسمى فئات الالتواء ، وبمساعدتهم ، لا يمكن تعيين كل قسم تجانب ليس اللون المتوسط ​​، ولكن الرقم من الحساب المعياري. وفئات التواء هذه هي عشرة سنتات.

اقترح كاليغاري وجيراتي أنه بالنسبة لبعض معادلات ديوفانتين ، قد يتبين أنه يمكن العثور على الشكل الآلي المقابل من خلال التقريب ليس عن طريق الأشكال الآلية الأخرى ، ولكن عن طريق لف الصفوف. قال كاراجاني "تبين أن هذه الفكرة رائعة."

قدم كاليغاري وجيراتي مخططًا لبناء جسر أوسع بكثير من معادلات ديوفانتين إلى الأشكال الآلية بالمقارنة مع ما بنى Wiles و Taylor. ومع ذلك ، لا يمكن اعتبار فكرتهم جسرًا كاملاً. لجعلها تعمل ، كان من الضروري أولاً إثبات ثلاث نظريات كبيرة. وفقا لكاليغاري ، يمكن مقارنة ذلك بحقيقة أن عملهم مع Gerati يصف مخطط الرحلة إلى القمر ، إذا لم يكن هناك سوى سفينة فضائية ووقود صاروخي وبدلات فضائية. قال كاليغاري إن هذه النظريات الثلاث كانت "بعيدة عن متناول أيدينا".

على وجه الخصوص ، طالبت طريقة كاليغاري وجيراتي بوجود جسر جاهز يسير في الاتجاه الآخر ، من الأشكال الآلية إلى معادلات الديوفانتين. وكان من المفترض أن يجمع هذا الجسر ليس فقط الأشكال الآلية ، ولكن أيضًا الطبقات الملتوية. قال تايلور ، الآن في جامعة ستانفورد: "أعتقد أن الكثير من الناس اعتبروا هذه المهمة يائسة عندما وصف كاليجاري وجيراتي برنامجهم لأول مرة".

أقل من عام بعد نشر عمل Kalegari وGerati، بيتر شولز هو شاب عبقري من جامعة بون الذي حصل على جائزة الميدان، أعلى جائزة للرياضيات ، أذهل المتخصصون في نظرية الأعداد ، واكتشفوا كيفية التحول من الطبقات الملتوية إلى جانب معادلات ديوفانتين في حالة المنحنيات البيضاوية ، التي تكون معاملاتها أرقامًا معقدة بسيطة مثل 3 + 2i أو 4 - √5i. قال تايلور: "لقد قام بالكثير من الأشياء المدهشة ، ولكن ربما يكون هذا أكثر إنجازه المدهش". أثبت


عالم الرياضيات بيتر شولز

شولز أول النظريات الثلاث لكاليغاري وجيراتي. و اثنين من لاحقة العمل المشترك SCHOLZE وKarayani اقترب جدا لإثبات نظرية الثانية، مما يدل على وجود الخصائص الصحيحة على الجسر وجدت من قبل SCHOLZE.

كان هناك شعور بأن هذا البرنامج يمكن إتقانه بسهولة ، لذلك في خريف عام 2016 ، نظم Karajani و Taylor ، وفقًا لـ Kalegari ، "ورشة العمل السرية" في معهد الدراسات المتقدمة ، والتي تهدف إلى تحقيق المزيد من التقدم. قال كاليجاري: "شغلنا جمهورًا واحدًا هناك ولم نسمح لأحد بالدخول".

بعد يومين من المحادثات التمهيدية ، بدأ المشاركون في ورشة العمل بفهم كيفية التعامل في وقت واحد مع النظرية الثانية والحصول على حوالي الثالثة. قال جاي ، أحد المشاركين في المشروع: "وربما في غضون يوم واحد بعد صياغة جميع المهام ، حللناها جميعًا".

بقية أيام الأسبوع، المشاركين لديهم دراسة مفصلة المكرسة لمختلف جوانب الأدلة، وعلى مدى العامين المقبلين، وأصدرت النتائج التي توصلوا إليها في لتأليف عشرة أشخاص - مثل هذا المبلغ لم يسمع به عن أعمال في نظرية الأعداد. في الواقع ، يثبت عملهم وجود جسر لانغلاند للمنحنيات البيضاوية مع معاملات من أي نظام أرقام يتكون من أرقام منطقية وأرقام غير منطقية ومعقدة.


قالت آنا قرياني وريتشارد تايلور

"تم تنظيم ورشة العمل بشكل أساسي من أجل فهم مدى قربك من الحل" ، قال غي. "لا أعتقد أن أي منا يتوقع منا أن نثبت كل شيء."

استمرار الجسر


في غضون ذلك ، كانت تتكشف قصة أخرى تتعلق باستمرار الجسر وراء المنحنيات الإهليلجية. عمل كاليغاري وغي مع جورج بوكسر (يعملان الآن في المدرسة العليا العادية في ليون ، فرنسا) في الحالات التي تكون فيها أعلى درجة من معادلات ديوفانتين 5 أو 6 (بدلاً من 3 و 4 ، كما هو معروف بالفعل). ومع ذلك ، علق ثلاثة علماء رياضيات في نقطة رئيسية في دليلهم.

وبعد ذلك ، في نهاية الأسبوع التالي ، بعد عقد "ورشة العمل السرية" ، نشر فنسنت بيلوني من المدرسة العليا العادية ورقة توضح كيفية التغلب على هذه العقبة. "الآن نحن بحاجة إلى إبطاء عملنا وبدء التعاون مع Pilloni!" - لذلك ، وفقا لكاليغاري ، أخبر ثلاثة باحثين بعضهم البعض على الفور.

في غضون بضعة أسابيع ، حل أربعة من علماء الرياضيات هذه المشكلة ، على الرغم من أنها استغرقت بضع سنوات من العمل وما يقرب من 300 صفحة من الوصف التفصيلي للأفكار. تم نشر عملهم ، وكذلك عمل تأليف 10 أشخاص ، على الإنترنت في ديسمبر 2018 ، بفارق أربعة أيام.


علق فرانك كاليغاري ، وتوبي غي ، وفينسنت بيلوني على ذلك

قائلاً: "هذا إنجاز خطير للغاية". ووصفهم ولبنات البناء التي سبقتهم بـ "عمل فني".

على الرغم من أن هذين العملين ، في الواقع ، يثبتان أن الاتصال التخاطر الغامض بين معادلات Diophantine والأشكال الآلية يتم نقله إلى الظروف الجديدة ، إلا أن هناك صيدًا واحدًا: لا يبنون جسراً مثالياً بين شطرين رياضيين. تشير الأعمال فقط إلى "الوجود المحتمل للتشكيل الآلي". هذا يعني أن كل معادلة ديوفانتين لها شكل آلي مماثل ، لكننا لا نعرف على وجه اليقين ما إذا كان هذا الشكل الآلي يعيش في هذا الجزء من القارة حيث ، وفقًا للعلماء ، يجب أن يكون موجودًا. ومع ذلك ، فإن الاكتفاء الذاتي المحتمل كافٍ للعديد من التطبيقات - على سبيل المثال ، لفرضية Sato-Tate حول إحصائيات الحلول المعيارية لمعادلات Diophantine ، التي يمكن تشغيلها على مشهد أوسع بكثير من ذي قبل ، من قبل عشرة مؤلفين.

بدأ علماء الرياضيات بالفعل في فهم كيفية تحسين هذه النتائج باستخدام آلية ذاتية محتملة. في أكتوبر ، أثبت ثلاثة من علماء الرياضيات - باتريك ألين من جامعة إلينوي في حملة أوربانا ، وتشاندراسيكار هير من جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس وجاك ثورن من جامعة كامبريدج - أن جزءًا كبيرًا من المنحنيات البيضاوية التي تم النظر فيها في العمل مع 10 مؤلفين لديهم جسور تأتي فقط إلى الأماكن الصحيحة.

قد تسمح الجسور ذات الدقة العالية في المستقبل لعلماء الرياضيات بإثبات مجموعة كاملة من النظريات الجديدة ، بما في ذلك تعميم نظرية فيرما الكبرى منذ قرن مضى. يدعي الأخير أن معادلة هذه النظرية لن يكون لها حلول حتى الآن ، حتى عندما بدلاً من x و y و z سنستبدل ليس فقط القيم الصحيحة ، ولكن مجموعات من الأعداد الصحيحة ووحدة وهمية .

قال مايكل هاريس من جامعة كولومبيا إن العمل في إطار برنامج كاليغاري-جيراتي يوفر دليلاً هامًا على أن المفهوم قيد التشغيل . وقال إنهم "يثبتون أن الطريقة قابلة للتطبيق في نطاق واسع".

وعلى الرغم من أن الأعمال الجديدة تربط الجسور بمقاطع أوسع بكثير من قارات لانغلاندز من ذي قبل ، فإنها لا تزال تترك مساحات شاسعة دون خرائط. من جانب معادلات ديوفانتين ، تشمل هذه المعادلات جميع المعادلات بدرجات أكبر من 6 ، بالإضافة إلى المعادلات التي تحتوي على أكثر من متغيرين. من ناحية أخرى ، تنتمي الأراضي غير المخططة إلى أشكال تلقائية تعيش في مساحات متماثلة أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت دراستها حتى يومنا هذا.

قال إيمرتون: "يمثل هذا العمل اليوم ذروة النجاح". "لكن في مرحلة ما سيُعتبرون إحدى الخطوات نحو تحقيق الهدف."

لم يفكر لانغلاندز أبدًا في التواء ، ودراسة الأشكال الآلية ، لذا فإن إحدى المهام الصعبة للرياضيين ستكون إيجاد رؤية موحدة لهذين النهجين المختلفين. قال تايلور: "نحن بصدد توسيع نطاقنا". "لقد خرجنا عن الطريق بطريقة ما مع لانغلاندز ولا نعرف إلى أين نتجه."

More articles:


All Articles