👨🏾‍⚖️ 👈🏾 🙅🏽 فركتلات في الرمال ، أو أكثر من ثلاثة لا تتجمع 🚣🏿 🎯 ✒️

سنتحدث عن نموذج كومة الرمل. الرمل (ليس حقيقيًا ، نموذجًا) ، يصب ، يخلق هذه الصور:

يمكن إضافة أكوام الرمل (هذا سهل إذا كنت معتادًا على طي جميع أنواع الأشياء) وطرحها (لكن هذا ليس تافهًا بالفعل).

يمكنك أيضًا استخدام هذا الشيء كعالم مرحبًا بدلاً من لعبة الحياة.

أكوام الرمال

خذ حقل مربعات متقلب. قد تقع حبيبات الرمل في كل خلية في هذا الحقل. على سبيل المثال ، قد يبدو الأمر كالتالي:

أضف الآن حبة رمل واحدة إلى تلك الخلية حيث يوجد ثلاثة منها:

والآن الانتباه هو أهم قاعدة:

إذا كانت هناك أربع حبات من الرمل في الخلية ، يتم توزيعها على أربع خلايا مجاورة.

كما يقولون ، هناك انهيار (إسقاط). مثل هذا:

قاعدة طبيعية جدًا. على الرغم من أنه لا يبدو كالرمل على الإطلاق ، إلا أنه من المرجح أن يتبع القاعدة "لا تجتمع معًا لأكثر من ثلاثة": إذا تمكن أربعة أشخاص في قفص واحد من الالتقاء ، فإنهم ينتشرون في اتجاهات مختلفة.

بهذه الطريقة ، يمكن أن تحدث سلسلة من الانهيارات الأرضية - عندما يتم كومة كومة رملية ، ستنهار حتى تكون هناك خلايا غير مستقرة مع 4 أو أكثر من حبيبات الرمل ، أي حتى يتم الحصول على كومة رملية مستقرة :

هذا يشبه بالفعل آلية تفشي المرض في الوباء "، وإن كان عن بعد.

وإذا كان في عدة خلايا في نفس الوقت 4 حبات من الرمل أو أكثر ، فماذا بعد ذلك؟ ما ترتيب الانهيارات الارضية؟ الجواب: لا يهم.

دليل

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}, \dots, x_{n}

$x_2,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

إذا قمت برمي العديد من حبيبات الرمل في خلية واحدة في حقل لا نهاية له وتركتها تتفتت ، فستحصل على مثل هذا الماندالا:

هنا ، "كثير ، كثير" يبلغ 30 مليونًا ، والخلايا التي تحتوي على 0 ، 1 ، 2 ، 3 حبيبات رمل مميزة ببكسل من الأبيض والأخضر والأرجواني واللون الذهبي. يوجد فيديو على موقع يوتيوب ، يمكنك أن ترى كيف يبدو في الديناميكيات.

جمع وطرح

نظرًا لحقيقة أن تسلسل الانهيارات الأرضية غير مهم ، فمن الممكن تحديد عملية إضافة أكوام رملية مستقرة: نضع واحدة فوق الأخرى ، ونكدس حبيبات الرمل من الخلايا المقابلة ، ونتركها تنهار. في مجال غير محدود ، فأنت بحاجة إلى الاهتمام بإدخال إحداثيات منسقة على حد سواء كومة. يمكن معالجتها وأكوام الرمل في الحقل المتقلب النهائي - عندما تنهار حبيبات الرمل فوق الحافة ، يتم فقدها إلى الأبد (يقولون أن حافة الحقل الموجود في أحواض kletki (الحوض) ، أو kletischa واحد كبير ، لا يهم). فيما يلي مثال على إضافة أكوام رمل في حقل 3 × 3. كما ترون ، يؤدي تسلسلان مختلفان للانهيار إلى نفس النتيجة.

من الممكن أيضًا على الحيد ، ولكن لا يزال عليك إنشاء خلية تصريف واحدة على الأقل حتى تتدفق الرمال بعيدًا ، وإلا يمكن أن يكون تسلسل الانهيارات الأرضية غير محدود.

اتضح أن مجموعة أكوام الرمل المستقرة في حقل معين (محدود أو لانهائي) لديها هيكل أحادي تبادلي : يمكن تكديسها معًا (علاوة على ذلك ، هذه الإضافة تبادلية ونقابية) ، والحقل الفارغ بدون حبة رمل واحدة يلعب دور الصفر. لا يمكنك طرح أكوام ببساطة: يمكنك الحصول على كمية سلبية من حبيبات الرمل. ومع ذلك ، سنقوم أيضًا ببناء تناظري للطرح ، ولكن ليس لجميع أكوام ، ولكن فقط للنخبة.

القليل من الجبر. المثاليفي monoid التبادلية تسمى مجموعتها الفرعية التي تكون ثابتة فيما يتعلق بإضافة أي عناصر من هذا monoid ، بما في ذلك ليس من المثل الأعلى. أي إذا كنت تنتمي إلى فكرة مثالية ، فلن تخرج منها ، بغض النظر عما تضيفه إلى نفسك. على سبيل المثال ، مجموعة الأرقام الطبيعية هي أيضًا أحادية تبادلية ، فقط فيما يتعلق بالضرب ، والمثالية في ذلك ، على سبيل المثال ، مجموعة الأرقام الزوجية: التي لا يتضاعف فيها الرقم الزوجي ، تحصل دائمًا على رقم زوجي. الحد الأدنى المثالي هو تقاطع جميع المثل العليا (غير الفارغة) ؛ نفسها أيضًا مثالية. في المثال بالأرقام الطبيعية ، يعد تقاطع كل المثل غير الفارغة مجموعة فارغة. ومع ذلك ، في حالة الأحاديات التبادلية المحدودة ، الأمر ليس كذلك. هناك نظرية على الحد الأدنى المثالي في monoid المبدئي المحدود ، والذي وفقًا لهمن قبل مجموعة (فيما يتعلق بنفس العملية المحددة في monoid): هناك عنصر محايد (تناظري للصفر) ، وكل عنصر له معكوس ، أي أنه يتم تحديد الطرح جنبًا إلى جنب مع الجمع. في الحالة العامة ، ثبت أن هذا ممل ، لكننا مهتمون فقط بأكوام الرمال.

خذ أكوام في الحقل الأخير بحيث تكون مجموعة أكوام أكوام مستقرة محدودة. لاحظ أن كومة الرمل مع الحد الأقصى لعدد حبيبات الرمل في كل خلية (أي 3 ؛ دعنا نسميها ببساطة "كومة 3") تنتمي إلى أي مثالي في أحادي كومة الرمل المستقرة ، حيث يمكنك إضافة كومة ثابتة أخرى محددة خصيصًا إلى أي كومة مستقرة حفنة للحصول على حفنة من 3 (لا تحتاج إلى انهيارات أرضية). وبالتالي ، يتم إنشاء الحد الأدنى المثاليالكومة 3: للحصول عليها ، يجب أن تأخذ الكومة 3 وتضيف إليها بدورها جميع أنواع أكوام الرمل المستقرة. سيؤدي هذا إلى مجموعة فرعية معينة من مجموعة كافة أكوام المستقرة ؛ لا يحتوي ، على سبيل المثال ، على حقل فارغ. تسمى كومة الرمل لهذه المجموعة الفرعية المتكررة (المتكررة).

لذلك ، يخبرنا الجبر العام أن العديد من أكوام الرمل العائدة هي مجموعة. لذلك ، لديها عناصر عكسية ومحايدة. العنصر المحايد ( عنصر الهوية) هو كومة إرجاع ، عند إضافتها إلى أي كومة إرجاع أخرى ، لا يغيرها. بالمناسبة ، تظهر إضافة عنصر محايد فقط في الرسم التوضيحي لإضافة أكوام.

للحصول على عنصر محايد ، تحتاج إلى رمي كل خلية ضعف الحد الأقصى لعدد حبيبات الرمل (أي 6) ، دعها تنهار ، ثم اطرح عدد حبيبات الرمل في كل خلية من 6 ، دع النتيجة تنهار.

لماذا ا؟

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

كيف تطرح؟

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

هذه هي الطريقة التي يبدو بها العنصر المحايد لمجموعة أكوام الرمل (العائد) في مجال 1024 × 1024 ؛ يتم تلوين الخلايا التي تحتوي على 0 ، 1 ، 2 ، 3 حبيبات رمل في الخلية باللون الأسود والأخضر والأرجواني والذهبي.

على KDPV - نفس الشيء بالنسبة للحقل 1000 × 500 ، كما يوضح الرسم التوضيحي لإضافة أكوام 3 × 3 العنصر المحلي المحايد.

أي أنك تفهم. المجموعات مختلفة ، لكن العناصر المحايدة فيها عادة ما تبدو محايدة تمامًا. في مجموعة بعض أرقام الجمع ، يكون العنصر المحايد هو الرقم 0 ، في مجموعة الأرقام الحقيقية أو المعقدة غير الصفرية في الضرب يكون الرقم 1 ، في مجموعة ناقلات الجمع المتجه الصفري ، في المجموعة التبادلية ، يكون التقليب هو "كل شيء في مكانه" ، في المجموعة الحركات - "لا تلمس أي شيء". وهنا - مثل هذا الجمال! التي لا تزال تحسب.

أنماط - رسم

سواء في العنصر المحايد أو في الكومة التي انهارت من العديد من حبيبات الرمل في خلية واحدة ، تظهر ادعاءات التشابه الذاتي. بالإضافة إلى ذلك ، على الرغم من أن التفاصيل تتغير عندما يتم تغيير حجم الحقل ، فإن الصورة ككل - كما لو كانت خريطة كسورية للمناطق المليئة بأنماط دورية بسيطة مخيط من مناديل Sierpinski - لا تزال دون تغيير ، وتفاصيل فقط عندما يتم تكبير الحقل.

Moritz Lang، CC BY-SA 4.0

يبدو أنه لا يوجد دليل على هذه الحقيقة على وجه التحديد لعنصر محايد على شبكة مربعة. ولكن بالنسبة إلى كومة انهارت من العديد من الجسيمات في خلية واحدة ، تم إثبات الوجود (قبل الطباعة ، المادة ) والكسور ( طبعة ، مقالة )) شكل ناتج عن ميل عدد حبيبات الرمل إلى ما لا نهاية مع التعديل المتزامن للمقياس.

بالإضافة إلى ذلك ، تم إثبات وجود وكسور كومة رملية في حقل مربع محدود (بتعبير أدق ، حدها لعدد الخلايا في حقل يميل إلى ∞) ، وهو عنصر محايد مع إضافة حبة واحدة من الرمل في كل خلية (مع ذرف لاحق ، كالمعتاد).

يرجى من مؤلفي الدليل (ما قبل الطباعة ، المقالة ) تقديم خوارزمية تصف الرقم المقابل ، والتي ، مع التنفيذ المبسط ، تعطي مثل هذه الصورة - مقارنة بالصورة أعلاه:

كود Wolfram Mathematica

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

في المثلثات المنحنية التي تشكل صورًا تشبه الصور النمطي هندسيًا ، لا تظهر فقط أنماط دورية متجانسة أكثر أو أقل (خاصة في KDPV) ، ولكن أيضًا "عيوب" متفرعة أحادية البعد. يبدو أن هذه منحنيات استوائية . على أي حال ، من المعروف (ما قبل الطباعة ، المقالة ) أنه إذا تم إلقاء العديد من حبيبات الرمل المنفصلة في الحقل الأخير مع 3 حبات من الرمل في كل خلية ، يتم تكوين صورة للرسم البياني نتيجة للذرف ، وهو منحنى استوائي يمر عبر حبيبات الرمل المحبب.

الاختلافات والتعميمات

لقد فكر خبراء الأتمتة الخلوية المتطورة في الأمر بالفعل: يمكننا أيضًا التفكير في جيران الخلية وتلك التي لها زاوية مشتركة فقط ("محيط مور"). يجب أن يحدث الانهيار في هذه الحالة عند الوصول إلى 8 حبات من الرمل في القفص. حسنًا ، 5 ملايين حبة رمل في الخلية المركزية تتحول إلى مثل هذا الشكل (الألوان: 0 - أبيض ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ):

بالطبع ، يمكنك التفكير ليس فقط في الخلايا المربعة ، ولكن أيضًا في الهياكل العادية الأخرى . الصور المقابلة موجودة في المعرض على صفحة أحد مؤلفي المقالات المذكورة أعلاه.

علاوة على ذلك ، يمكن أن يتناثر الرمل بشكل عام على أي رسم بياني ، بما في ذلك الرسوم الموجهة: يتم جمع حبيبات الرمل عند القمم ، ويحدث الانهيار عندما يصل عدد حبيبات الرمل في الرأس إلى الدرجة الخارجة من القمة (عدد الحواف المنبعثة منه). ولكن إذا كنت ترغب في التفكير في مجموعة من أكوام الرمل على هذا الرسم البياني ، فيجب أن تكون محدودة ، يجب أن يكون لها حوض غسيل ، ويجب أن يكون من الممكن الوصول إليها من أي قمة. ومع ذلك ، إذا قرأت هذه الفقرة على الإطلاق ، فربما تكون قد اكتشفتها بالفعل.

الرمز

لطالما كانت لعبة "Life" من المهام المفضلة لدي عند تعلم لغة برمجة جديدة. لكنها بدأت بالفعل في الإزعاج ، لذلك عندما قرأت عن أكوام الرمل ، قررت أن هذه كانت مهمة لطيفة ومناسبة لممارسة لغة واحدة لطيفة ، ولا تزال غير معروفة كثيرًا (كما اعتقدت) - ربما سأكون أول من تكون سوف Raste برمجة! نعم ، شاز. هناك أكوام رملية حتى على Google Play - واحد ، اثنان . تم العثور على تطبيقين على Github في Rust ، لكنها ليست جيدة جدا. تنفيذي على github.com/colt-browning/sandpile. يمكنك استخدامه مباشرة في سطر الأوامر (على الرغم من أنني أخشى أن يكون النظام مع الكتابة البولندية للحجج معقدة) ، يمكنك استخدامه كمكتبة. يُسقَّف بشكل عام بطريقة مباشرة إلى حد ما ، ولكن يتم توفير الإجراءات المثلى للحالات الخاصة المهمة.

جواب السؤال

لماذا كل هذا ضروري؟

إجابة شائعة. حان الوقت لذكر نموذج Buck - Than - Wiesenfeld. في بعض الأحيان يتم خلطه بنموذج كومة رملية ، ولكن سيكون أكثر دقة أن نقول أن هذه إضافة على إطار رمل: نأخذ كومة رملية في حقل مربع ونرمي حبة واحدة من الرمل عليها في خلايا عشوائية ، نراقب في كل مرة كيف يحدث التساقط وعدد الخلايا التي ستؤثر على الانهيار الانهيارات الارضية ( فيديو) مع أي تكوين نبدأ ، سنأتي عاجلاً أم آجلاً لإرجاع أكوام. تظهر التجارب العددية أن توزيع حجم الانهيارات الثلجية هو قانون السلطة. في الأنظمة الطبيعية ، عادة ما تتحلل الاستجابة للتقلبات بشكل كبير في المتوسط ، ويحدث توزيع قانون السلطة في حالات تسمى حرجة - على سبيل المثال ، بالقرب من مرحلة انتقالية. ومع ذلك ، من أجل الدخول في المرحلة الانتقالية ، من الضروري عادةً "ضبط" معلمات النظام (درجة الحرارة والضغط ، على سبيل المثال ، أو هناك احتمالات وجود حافة في الرسم البياني إذا كنا نتحدث عن مشكلة الترشيح في الشبكة أو نموذج Erdos - Renyi- هناك أيضًا انتقالات طورية هناك). وفي نموذج BTV ، يظهر قانون الطاقة نفسه ، دون ضبط دقيق. وهذا ما يسمى الحرجية ذاتية التنظيم. BTV لم يأت للتو بنموذج من كومة الرمل ، ولكن من عملهم أن الرمال تأسست بقوة في العلم تحت علم الحرج المنظم ذاتيًا: يقولون ، إذا فهمنا كيف تنشأ الحرجية ذاتية التنظيم في الرمال ، فسوف يساعد على فهم من أين يمكن أن يأتي من حيث المبدأ الطبيعة (وفي طبيعتها قوانين القوة ذات الأصل غير الواضح تحدث أيضًا). يبدو أن قانون القوة لنموذج BTV على شبكة مربعة لم يتم تأسيسه بشكل صارم بعد ، ولكن هناك العديد من النتائج النظرية القريبة ( هنا هي نتائج أحدث) ، وبالطبع ، التجارب العددية وحتى واسعة النطاق.

الجواب الصادق. نعم ، أنت فقط تنظر إلى الصور ، يا له من جمال!

لقد شطبت كل هذا من ويكيبيديا ، وقمت بتنزيل الصور من هناك

لم أقم بالشطب والتنزيل من ، ولكن كتبت وتحميل على.

أين تقرأ عن الرمال؟

نمو Laplacian ، الرمل ، وحدود التوسع - مراجعة 2017.
نموذج الرمال - ملاحظات من دورة المدرسة الصيفية "الرياضيات المعاصرة" من المؤلف المشارك للنتيجة حول المنحنيات الاستوائية.

فركتلات في الرمال ، أو أكثر من ثلاثة لا تتجمع