مرحبا! اسمي عزت ، أقوم بإنشاء دورات للتحضير للامتحان في شاد. أطلقنا مؤخرًا دورة تدريبية حول الرياضيات المنفصلة ، لذلك يعمل فريقنا على حل المشكلات المتعلقة بالموضوع ذي الصلة. بعد فحص الاختبار في SHAD 2019 ، رأينا اهتمامًا كبيرًا لمستخدمي Habr في المهام المسلية من الاختبار. لذلك ، ننشر هنا 4 مفضلات في الرياضيات المنفصلة. استمتع بها!
قيمة عشوائية Xيساوي طول الدورة التي تحتوي على عنصرين 1 و 2 في نفس الوقت ، مع تبديل عشوائي للمجموعة {1,2,…,n}. إذا لم يكن هناك مثل هذه الدورة ، ثمX=0. أوجد توزيع متغير عشوائيX وتوقعها الرياضي.
, , . , X— P(X=k)k. — , k, , n!
. . (1 2), k−2n−2, Cn−2k−2. , , , (n−k)!. , . , , . a— a1=b, ab, 1 b( ). , , (k−1)!. :
, k=0k=1. k=1, , (P(X=1)=0, .. , ). , k>n, P(X=k)=0( ). , P(X=0):
X, :
المتغيرات العشوائية Xو Yتأخذ قيمتين و cov(X,Y)=0. اثبت انها مستقلة.
, , , .
: 0 1, P(X=1)=p, P(Y=1)=q, P(X=1,Y=1)=r. , r=pq. , E(X)=P(X=0)⋅0+P(X=1)⋅1=P(X=1)=p, E(Y)=P(Y=0)⋅0+P(Y=1)⋅1=P(Y=1)=q, E(XY)=P(X=1,Y=1)=r. cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0, E(XY)=E(X)E(Y)r=pq.
, XY: , ( , : P(X=1,Y=0)=P(X=1)−P(X=1,Y=1)=p−r، P(X=0,Y=1)=P(Y=1)−P(X=1,Y=1)=q−r، P(X=0,Y=0)=1−P(X=1,Y=1)−P(X=0,Y=1)−P(X=1,Y=0)) يمكن التحقق من أن شرط الاستقلال صحيح لأي من المجموعات الأربعة ؛ وبالتالي ، يمكن اعتبار حالة معينة مثبتة.
دع في الحالة العامة P(X=a)=p, P(X=b)=1−p, P(Y=c)=q, P(Y=d)=1−qأين a<bو c<d. X′=X−ab−aY′=Y−cd−c. , Xab, X′0 1 , Y. , cov(X′,Y′)=0, .
cov(X,Y)=0, cov(X′,Y′)=0, ...
تحتوي أرض Lelandia السحرية على 100 مدينة ، بعضها متصل بشركات طيران. من المعروف أن أكثر من 90 شركة طيران تغادر كل مدينة. يثبت أن هناك 11 مدينة في أزواج متصلة بشركات طيران مع بعضها البعض.
, — , — . , 91 , 8 . , , , .
( , ). , , , , .., . . 1 9 , , ⌊1009⌋=11, .
لكل موظف في Tyndex ما لا يقل عن 50 من معارفه. اتضح أن هناك موظفين اثنين على دراية ببعضهما البعض فقط بعد 9 مصافحات (أي أقصر سلسلة ربط من الأشخاص المألوفين الثنائيين تحتوي على 8 أشخاص متوسطين). يثبت أن هذه الشركة لديها ما لا يقل عن 200 موظف.
, 10 . Aii- , ∀i |Ai|≥50.
, A1, A4, A7, A10. , . , |A1∪A4∪A7∪A10|=|A1|+|A4|+|A7|+|A10|≥200, ...
إذا كان لديك أفكار أخرى لحل المشكلات أو أي تعليقات ، فلا تتردد في الكتابة إلي في البرقيات @ Azatik1000. سعداء دائما للإجابة!
عزت كالميكوف ، القيم الفني في ShAD Helper