Get best of the week

أثبت علماء الرياضيات القانون العالمي للاضطراب

باستخدام العمليات العشوائية ، أثبت ثلاثة من علماء الرياضيات القانون الأنيق الكامن وراء الحركة الفوضوية للأنظمة المضطربة




تخيل نهر هادئ. تخيل الآن تيارًا سريعًا من الماء الرغوي. ما الفرق بينهم؟ بالنسبة للرياضيين والفيزيائيين ، فهي تتكون من حقيقة أن نهرًا هادئًا يتدفق في اتجاه واحد ، ويتدفق تيار عاصف في عدة اتجاهات في وقت واحد.

تسمى النظم الفيزيائية بمثل هذه الحركة غير النظامية مضطربة . نظرًا لحقيقة أن حركتهم لها العديد من الخصائص في نفس الوقت ، فمن الصعب جدًا دراستها رياضيًا. سيتغير أكثر من جيل من علماء الرياضيات حتى يتعلم الباحثون وصف نهر مضطرب بتعابير رياضية دقيقة.

لكن أدلة جديدةيقول أنه على الرغم من أن بعض الأنظمة المضطربة تبدو متمردة ، إلا أنها في الواقع تخضع لقانون عالمي واحد. تقدم هذه الورقة أحد أكثر الأوصاف صرامة للاضطراب الذي قدمته الرياضيات على الإطلاق. ويبدو بفضل مجموعة جديدة من الأساليب التي تغير في حد ذاتها عملية الباحثين الذين يدرسون هذه الظاهرة العصيان حتى الآن.

قال فلاديمير سفيراك ، عالم الرياضيات في جامعة مينيسوتا ، وهو خبير في الاضطرابات: "ربما هذا هو النهج الأكثر وعدًا بالاضطرابات" .

يوفر العمل الجديد طريقة لوصف الأنماط التي تنشأ في تحريك السوائل. يمكن رؤيتها بوضوح على سبيل المثال من التقلبات الحادة في درجة الحرارة عند النقاط المجاورة للمحيطات أو الصور الساحرة التي تم الحصول عليها من خلال مزج الألوان السوداء والبيضاء. في عام 1959 ، توقع عالم الرياضيات الأسترالي جورج باتشيلور أن هذه الأنماط لديها سلوك دقيق ومنظم. تؤكد أدلة جديدة حقيقة "قانون باتشيلور" ، كما كان يسمى هذا التنبؤ.

قال جاكوب بيدروسيان : "يمكن رؤية قانون باتشيلور في كل مكان"، عالم الرياضيات في جامعة ماريلاند في كوليج بارك شارك في تأليف كتاب البرهان مع أليكس بلومنتال و صموئيل Panshon سميث . "من خلال إثبات هذا القانون ، أصبحنا أكثر قدرة على تحقيق عالميته."

الاضطراب من الأعلى إلى الأسفل


وعلى الرغم من أن الأدلة الجديدة لا تصف بالضبط نفس العمليات التي تحدث في المسار المضطرب للنهر ، إلا أنها ترتبط ارتباطًا وثيقًا بها ومألوفة لنا تمامًا. لذلك ، دعونا نتخيلهم أولاً قبل الانتقال إلى النوع الخاص من الاضطرابات التي حللها علماء الرياضيات.

تخيل حوض مطبخ مليء بالماء. يبدأ الماء في الدوران في الحوض ككتلة واحدة تقريبًا. إذا قمنا بزيادة السائل وقياس سرعته على نطاق أصغر ، فسوف نرى نفس الشيء - كل جزء مجهري من السائل يتحرك وفقًا للآخرين.

قال بلومنتال ، وهو طالب جامعي من جامعة ميريلاند في كوليدج بارك: "ترتبط الحركة في الغالب بحجم المحارة بأكملها".


أليكس بلومنتال ، طالب دراسات عليا من جامعة ميريلاند كوليدج بارك

تخيل الآن أنه بدلاً من مجرد ترك المياه تصرف عن طريق سحب الفلين ، أضفت نوافير المياه إلى الحوض ، وقم بغزلها مثل الجاكوزي. بالعين المجردة ، يمكنك التقاط الكثير من الدوامات التي تظهر في الماء. اختر واحد منهم وزد من حجمه. إذا كنت عالم رياضيات تحاول تحليل تدفقات الصدفة المضطربة ، فيمكنك أن تأمل أن يتحرك كل جسيم من الماء في الدوامة المحددة في نفس الاتجاه. وهذا من شأنه أن يسهل عمل النمذجة السائلة إلى حد كبير.

ولكن ، للأسف ، ستجد أن الدوامة نفسها تتكون من العديد من الدوامات الصغيرة ، كل منها يتحرك بطريقة خاصة. قم بتكبير صورتها ، وسوف ترى مرة أخرى أنها بدورها تتكون من دوامات مختلفة ، وما إلى ذلك ، إلى أصغر نطاق ، حتى تأخذ تأثيرات الاحتكاك الداخلي (أو اللزوجة) في السائل وتنسق التدفقات.

هذه علامة واضحة على الأنظمة المضطربة - سلوك مختلف للأنظمة الفرعية المضمنة في بعضها البعض بمقاييس مختلفة. لوصف حركة نظام مضطرب بشكل كامل ، من الضروري وصف ما يحدث على جميع هذه المقاييس في أي وقت. لا يمكن تجاهل أي منها.

هذا مطلب خطير - فهو يشبه نمذجة مسارات حركة كرات البلياردو ، مع مراعاة كل شيء على الإطلاق ، من حركة الأرض عبر المجرة ، إلى تفاعل جزيئات الغاز مع الكرات.

قال جان لوك تيفو من جامعة ويسكونسن ، الذي يدرس الاضطرابات: "كان عليّ أخذ كل شيء في الاعتبار في وقت واحد ، مما يجعل من الصعب للغاية تصميم هذه المهمة".

ونتيجة لذلك ، حاول علماء الرياضيات منذ عقود إنشاء وصف للاضطراب يصف بدقة ما يحدث في كل نقطة من النظام المضطرب في أي وقت معين. ولم تنجح.

قال تيفو "الاضطراب معقد للغاية بحيث لا يستطيع مهاجمته في الجبهة". وينطبق ذلك على الأنهار والأحواض المضطربة التي تتسرب منها السوائل. وينطبق هذا أيضًا على الإصدار الخاص من الاضطراب المستخدم في الدليل الجديد.

التقليب


القشرة والنهر أمثلة على الاضطراب الهيدروديناميكي. فهي مضطربة بمعنى أن نواقل سرعة السوائل - اتجاهات وسرعات الجسيمات - تختلف اختلافا كبيرا من نقطة إلى أخرى. يصف العمل الجديد خصائص أخرى للسائل باستثناء نواقل السرعة التي يمكن قياسها في كل نقطة من نقاطه. لفهم ما يعنيه هذا ، تخيل مزيجًا من الألوان.

لنبدأ بعلبة من الطلاء الأبيض. سنضيف قطرة سوداء واحدة في الثانية ، مع تحريك الطلاء. ستسقط القطرة الأولى في طلاء أبيض وستبرز كجزيرة. ولكن سرعان ما سيبدأ في الذوبان في الطلاء الأبيض ، وتمتد إلى خطوط رفيعة بشكل متزايد. ستكون القطرات اللاحقة من الطلاء الأسود في مراحل مختلفة من نفس التحول: التمدد والإطالة والصب في الطلاء ، والذي يتحول تدريجياً إلى اللون الرمادي.

d2r55xnwy6nx47.cloudfront.net/uploads/2020/02/Saintillan-simulation_600x600.mp4

مع تغير نواقل السرعة من نقطة إلى أخرى في الحوض حيث يتم خلط الماء ، سيتغير تركيز الطلاء الأسود باللون الأبيض من نقطة إلى أخرى مع الخلط: في بعض في الأماكن سيكون تركيزه أكبر (خطوط أكثر سمكًا) ، في بعض أقل.

هذا الخيار هو مثال على "الاضطراب الحجمي السلبي". يحدث عندما يتم حقن أحد السوائل ، "سلبي سلبي" ، ويضاف الحليب إلى الآخر في القهوة ، والطلاء الأسود باللون الأبيض.

يصف الاضطراب السلبي السلبي أيضًا العديد من الظواهر الطبيعية - التغيرات المفاجئة في درجة الحرارة بين نقاط قريبة من المحيط. في مثل هذه البيئة ، "تخلط" تيارات المحيط درجات الحرارة بنفس الطريقة التي تختلط بها الألوان السوداء والبيضاء.

يتنبأ قانون باتشيلور بنسبة عدد الظواهر واسعة النطاق (الدوامات السميكة للطلاء أو تيارات من مياه المحيطات من نفس درجة الحرارة) إلى عدد الظواهر على المقاييس الأصغر (خطوط الطلاء الرقيقة) عند خلط السوائل. يطلق عليه القانون لأن الفيزيائيين كانوا يراقبون هذه الظاهرة في التجارب لسنوات عديدة.

قال بانشون سميث ، عالم رياضيات في جامعة براون: "من وجهة نظر الفيزياء ، هذا يكفي لتسمية القانون". ومع ذلك ، قبل هذا العمل لم يكن هناك دليل رياضي لأدائها الذي لا غنى عنه.


يتنبأ قانون باتشيلور بنسبة عدد الظواهر واسعة النطاق (الدوامات السميكة للطلاء أو تيارات من مياه المحيطات من نفس درجة الحرارة) إلى عدد الظواهر على المقاييس الأصغر (خطوط الطلاء الرقيقة) عند خلط السوائل. تظل هذه النسبة بدون تغيير عند التصغير ، حيث تحافظ دمى التعشيش الصغيرة على النسب كبيرة.

لكي تدرك فكرة باتشيلور ، عد إلى الطلاء. تخيل أنك ستستمر في هذه التجربة لبعض الوقت ، مع إضافة قطرات من الطلاء الأسود والتقليب. توقف الآن عن الوقت. سترى شرائط سميكة من الطلاء الأسود (تم عجنه على الأقل) ، وشرائط أرق (تم عجنهم لفترة أطول) ، وحتى أرق (تم عجنهم لفترة أطول).

يتنبأ قانون باتشيلور بأن عدد الشرائط السميكة والشرائط الرفيعة والرقيقة جدًا يطيع النسبة الدقيقة - شيء مثل الدمى يطيع نفس النسب.

قال بلومنتال: "تظهر شرائط بمقاييس مختلفة في جزء معين من السائل ، لأن جزءًا من القطرات بدأ للتو في الاختلاط ، وبعضها تم خلطه لبعض الوقت". "يصف قانون باتشيلور توزيع حجم شرائط الطلاء الأسود". من الصعب وصف النسبة الدقيقة باختصار ، ولكن يتم الحصول على شرائط رفيعة أكثر من الشرائط السميكة ، وعدد معين من المرات.

يتنبأ القانون بأن النسبة يتم الحفاظ عليها حتى لو نظرت إلى جزء السوائل الذي يزداد. الشرائط ذات السماكات المختلفة ، سواء في منطقة صغيرة من السائل أو في البنك بأكمله ، سيكون لها نفس النسبة بالضبط في الكمية ؛ والتصغير ، سنرى نفس النسبة. النمط هو نفسه على جميع المقاييس ، كما هو الحال في الاضطراب الهيدروديناميكي ، حيث يوجد في كل دوامة دوامات صغيرة.

إن التنبؤ الجريء إلى حد ما ، والذي ، علاوة على ذلك ، من الصعب أن يصاغ بطريقة رياضية. التعشيش المعقد للظواهر بمقاييس مختلفة يجعل من المستحيل وصف مظهر قانون باتشيلور بدقة في تدفق سائل واحد.

لكن مؤلفي العمل اكتشفوا كيفية التغلب على هذا التعقيد وإثباته.

نهج عشوائي


تبنى Bedrossian و Blumenthal و Punchon Smith نهجًا يأخذ في الاعتبار متوسط ​​سلوك السوائل في جميع الأنظمة المضطربة. لقد جرب علماء الرياضيات هذه الإستراتيجية من قبل ، لكن لم ينفذها أحد بنجاح.

يعمل هذا النهج لأن العشوائية تسمح أحيانًا بتنبؤات دقيقة لسلوك النظام. تخيل لوحة عمودية مرصعة بالمسامير. أسقط عملة معدنية على طولها من فوق ، وسوف ترتد من الأظافر حتى تصل إلى إحدى الفتحات أدناه. من الصعب التنبؤ بالمكان الذي ستسقط فيه عملة معينة - تؤثر العديد من العوامل على مكان ارتدادها بعد كل تصادم.


صموئيل بونشون سميث

بدلاً من ذلك ، يمكنك اعتبار النظام عشوائيًا - وأنه لكل مسمار هناك احتمال أن ترتد العملة إلى اليمين واليسار. إذا تم حساب الاحتمالات بشكل صحيح ، فسيكون من الممكن عمل تنبؤات دقيقة حول سلوك النظام ككل. على سبيل المثال ، قد تجد أن العملات أكثر عرضة للسقوط في فتحات محددة.

قال تيفو: "ما هو جيد في العشوائية هو القدرة على القيام بالمتوسط". "حساب المتوسط ​​فكرة موثوقة جدًا ، بمعنى أن العديد من التفاصيل الصغيرة لا تلمسها".

ماذا يعني هذا للاضطراب وخلط الألوان؟ نظرًا لأن العبارات الدقيقة والحتمية خارجة عن نطاق الرياضيات ، سيكون من المفيد أكثر أن نتخيل أن بعض القوى العشوائية تعمل على الطلاء - تتداخل في بعض الأحيان هنا ، وأحيانًا هناك ، دون أي انتظام. يسمى هذا النهج عشوائيًا أو عشوائيًا. يسمح للرياضيين باستخدام حسابات إحصائية عالية المستوى ودراسة ما يحدث في الأنظمة ككل ، دون دفن أنفسهم في تفاصيل كل التفاصيل.

قال بونشون سميث: "قليلا من المصادفة تسمح لنا بالتغلب على الصعوبات".

هذا ، في النهاية ، سمح لثلاثة من علماء الرياضيات بإثبات قانون باتشيلور.

فهم المزيج


تتمثل إحدى طرق إثبات قانون مادي في تخيل الشروط التي من شأنها إبطاله. إذا كان من الممكن إثبات عدم وجود مثل هذه الشروط ، فسوف يثبت أن القانون يعمل دائمًا. أدرك الفريق أنه لتجنب القوانين التي تنبأ بها قانون باتشيلور ، يجب أن يكون للعجن خصائص محددة للغاية.

ينقسم دليل القانون إلى أربعة أعمال تم نشرها عبر الإنترنت بين سبتمبر 2018 ونوفمبر 2019. ركزت الثلاثة الأولى على فهم حركات معينة للطلاء المختلط الذي لن يسمح لقانون Batchelor بالعمل واستبعاد مثل هذه الحركات. لقد أثبتوا أنه حتى إذا تناولت سائلًا تم تصميمه خصيصًا لهزيمة قانون باتشيلور ، فإن النمط سيظل يظهر فيه.

قال بيدروسيان: "الشيء الرئيسي الذي يجب أن تفهمه هو أن السائل لا يمكنه تصور أي شيء ضدك".


Jacob Bedrossian

على سبيل المثال ، لن يعمل قانون Batchelor إذا أدت عملية الخلط إلى دوامات أو مسارات قمعية مستمرة في الطلاء. ستحتفظ هذه القمع ببعض قطرات من الطلاء الأسود في مكان واحد - مثل الحطام عند حافة الدفق - ولن يختلط الطلاء.

"في مثل هذه الدوامة ، لن تكون مسارات الجسيمات فوضوية ؛ قال بدروسيان: "إنهم لا ينفصلون بسرعة ، لكنهم يدورون معًا". "إذا لم يخلط نظامك الطلاء بالسرعة المناسبة ، فلن يظهر قانون باتشيلور".

في العمل الأول ، ركز علماء الرياضيات على ما يحدث أثناء عملية الخلط بنقطتين من الحبر الأسود اللتين كانتا في الأصل بجوار بعضهما البعض. لقد أثبتوا أن النقاط تتبع مسارات عشوائية وتتباعد في اتجاهات مختلفة. بمعنى آخر ، لا يمكن أن تتعثر النقاط المتقاربة في دوامة من شأنها أن تبقيها معًا طوال الوقت.

قال بلومنتال: "في البداية ، تتحرك الجسيمات معًا ، لكنها في النهاية تنفصل وتتشعب في اتجاهات مختلفة تمامًا".

في العمل الثاني والثالث ، نظروا بشكل أوسع في عملية الخلط. أثبتوا أنه في سائل فوضوي ، في الحالة العامة ، يمزج الطلاء الأسود والأبيض بأسرع ما يمكن. ثم قرروا أن العيوب المحلية (الدوامات) لن تتشكل في السائل المضطرب ، والتي يمكن أن تتداخل مع ظهور صورة عالمية أنيقة وصفها قانون باتشيلور.

في الأعمال الثلاثة الأولى ، أجرى المؤلفون الحسابات الرياضية المعقدة اللازمة لإثبات أن الدهان يمتزج جيدًا وعشوائيًا. في الرابعة ، أظهروا أنه في سائل له خصائص الخلط هذه ، ينشأ قانون باتشيلور كنتيجة ضرورية.

هذا هو واحد من أقوى العبارات الرياضية الصارمة فيما يتعلق بالنظم المضطربة. والأهم من ذلك أنه يوفر لنا فرصًا لتيار جديد من الأفكار الرياضية. الاضطراب ظاهرة فوضوية ، عشوائية تقريبا في حركتها. اكتشف ثلاثة من علماء الرياضيات كيفية التعامل مع العشوائية باستخدام العشوائية. ومن شبه المؤكد أن المتخصصين الآخرين في هذا المجال سيتبعونهم.

قال تيفو: "إن أكبر مساهمة لهم هي تزويدنا بمنصة نبني عليها الأدلة". "أعتقد أن الصدفة هي إحدى الطرق القليلة لبناء نموذج الاضطراب الذي يمكننا فهمه رياضيًا".

More articles:


All Articles