مرحبا يا هابر! أقدم لكم ترجمة مقال "أصول الرياضيات: الأفكار المنطقية" بقلم إريك ر. تو (جامعة واشنطن تاكوما).

من مترجم:

تم نشر سلسلة من المقالات حول أصول الرياضيات بشكل عام والتدوين على وجه الخصوص في مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية. بدا لي أن آخر مقالتين من المقالات الخمس المنشورة حتى الآن هي الأكثر إثارة للاهتمام ، لذلك أنشر ترجمة لأولها - "أصول الرياضيات: الأفكار المنطقية".

بمجرد أن يحصل طالب الرياضيات على يده في التحليل الرياضي والإحصاءات ، تأتي لحظة تظهر فيها البنية الفوقية المنطقية للرياضيات. يمكن أن يظهر هذا في شكل أسئلة واضحة ، أو على الأقل انزعاجًا معينًا بشأن الموثوقية المزعومة للحقائق الرياضية. كيف يمكننا التأكد من صحة النتائج الكلاسيكية - مثل نظرية لاغرانج أو نظرية الحد المركزية؟ هذه هي النقطة التي يبدأ فيها العديد من برامج البكالوريوس في الرياضيات تضمين دورة في المنطق والفكر الرياضي.

وفقا لتجربة المؤلف الخاصة [ إريك تو - تقريبا. عبر.] ، يتضمن هذا عادةً تغييرًا في ترتيب الأفكار ، من "ترتيب الاكتشافات" ، الشائعة جدًا في حل المشكلات ، إلى "ترتيب المنطق" ، الذي يشكل أساس البراهين الرياضية. يصبح من الواضح بسرعة أن المصطلحات والرموز الجديدة ضرورية من أجل تسليط الضوء على العبارات الرياضية والعلاقات المنطقية قيد النظر. يجب فصل مفاهيم مثل الاقتران والفصل والتضمين والتكافؤ والعالمية والوجودية. اليوم ، تعتبر نظرية المنطق وتدوينها المتأصل بشكل لا ينفصل: أحدهما لا يوجد بشكل مستقل عن الآخر. ومع ذلك ، لم يكن هذا هو الحال دائمًا! في هذه المقالة ، سنلقي نظرة على بعض المحاولات المبكرة لتنظيم نظرية المنطق بطريقة منهجية ، إلى جانب العديد من القرارات المتخذة بشأن التدوين. سوف نرى،أن مؤلفي القرنين السابع عشر والثامن عشر كانوا ، بشكل أساسي ، مهتمين بوصف طريقة التفكير في المنطق ، عادة من خلال القياس مع المفاهيم الرياضية أو الفلسفية الموجودة بالفعل. في المقالة التالية في هذه السلسلة ، سنواصل السرد في القرنين التاسع عشر والعشرين لاستكشاف العديد من أنظمة الترميز المقترحة لوصف المنطق.

, . «$$$\therefore$» «», . , , . 1659- «Teutsche Algebra» (« ») , . . :

. 1. «Teutsche Algebra» $$$\therefore$«» $$$\ast$. Google Books , .

«$$$\therefore$» , ergo. , : $$$18\sqrt{dd-cc} : (c+d)\sqrt{dd-cc} :: 18 : c+d$2 3 $$$(18c + 18d)\sqrt{dd - cc} = (18c + 18d)\sqrt{dd - cc}$. . [Caj, . 212], «$$$\therefore$» «». , .

; 20 , .

. 2. «Teutsche Algebra» . Google Books , .

: $$$D$$$$F$$$$a$$$$b$, $$$D$$$$F$, . 3, $$$*$4 , «», 6. $$$a-b$, $$$a+b=D$, . — , , .

- , , , , , . ( — , ). , , , . , , : , . , . « », :

1. , ;
2. , ;
3. , .

1666 , «Dissertatio de Arte Combinatoria» (« ») [Lei]. , , (1) -, (2) «» ( ) . , .

, , . , . 1679 , -, , . , «Regulæ ex quibus de bonitate consquentiarum formisque et modis syllogismorum categoryoricorum judicari potest per per numberros» («, , »). « » :

, ,



$$$+20−33+10−3$

$$$+cdh-ef+cd-e$

— , (, $$$+20$$$$-33$) (.. , ) , ($$$+20$ $$$+10$, $$$−33$$$$−3$). , $$$+20$$$$+10$, $$$2$, $$$-33$$$$−3$, $$$11$. , , . [Par, . 26]

. -, , . , , « , , ; ». «» «» «», «». [Tho, . 20], - . -, . . , . , . , « » , .

: «Algebræ Philosophicæ»

1761 , «Algebræ philosophicæ in usum artis inveniendi» (« , ») . , .

3. «Algebræ Philosphicæ» (1761). Archive.org , , .

, . , , $$$\omega$, , , . : , , , , . , (aliquid) (nihil) ($$$\cup$) ($$$\cap$), . , .

. 4. «Algebræ Philosphicæ» (1761). Archive.org , , London.

— , , ! , :

• (, $$$\omega$), (, $$$\omega$);
• ($$$\omega$), (, ), (, );

, , , , . , (), (). «Algebræ Philosphicæ» 16 , . , ! : «Dissertatio de Arte Combinatoria». , , - «Algebræ Philosphicæ».

Zeichenkunst in der Vernunftlehre

, , 1782 «Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre» (« »). 5:

. 5. «Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre» (1782). Google Books , .

, , . , ; , ($$$=$), ($$$+$), ($$$-$), ($$$\times$), ($$$>$) ($$$<$). , . , . ( , ).

, [Lam, . 11]. $$$a$$$$b$, $$$ab$, , , $$$a-ab$$$$a$, $$$b$. , «eigene Merkmale», « », «eigen-» . , $$$b-ab$$$$b$, $$$a$. , $$$a+b-ab-ab$$$$a$$$$b$, , . , , $$$+$, ( ) $$$a$$$$b$. , , $$$a∣b$$$$a$, $$$b$, . $$$a∣b + b∣a + ab + ab = a + b$, , $$$a$$$$b$, $$$a$$$$b$.

…

, , . — — , , , . , , . , , , , , .

, ! 60 , « » ( « ») , . 1847 , , , «» «» « » . , «» , .

. 6. « » (1847). Archive.org , .

, «» « » . « », , . , 19- 20- , « » . , , . !

[Caj] Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations, Volume II. Chicago: Open Court Publishing Co., 1928.

[DeM] De Morgan, Augustus. Formal Logic: or, the Calculus of Inference, Necessary and Probable. London: Taylor and Walton, 1847.

[Lam] Lambert, Johann. Sechs Versuche einer Zeichenkunst in der Vernunftlehre. Berlin, 1782.

[Lei] Leibniz, Gottfried Wilhelm, Dissertatio de arte combinatoria. Leipzig, 1666. «Philosophical Papers and Letters» (Leroy E. Loemker, , 2- ) 1969 . « ».

[Par] Parkinson, G. H. R., ed. Leibniz Logical Papers. Oxford: Clarendon Press, 1966. .

[Rah] Rahn ، يوهان. Teutsche Algebra . زيورخ: JJ Bodmer، 1659.

[Ric] Richeri ، لودوفيكو. "الجبر الفلسفية في usus artis inveniendi . " Melanges de Philophie et de la mathématique de la société royale de Turin . 1 (1760-61) ، 46-63.

[ثو] طومسون ، جاريت. على لايبنتز. ستامفورد ، ط م: Thomson Learning ، 2001.