قانون فاراداي أو كيف يعلق المغناطيس في أنبوب نحاسي

صورة مأخوذة من موقع Popular Mechanics على الإنترنت .

رأى الكثيرون تجربة مغناطيس دائم يبدو أنه عالق داخل أنبوب نحاسي سميك الجدران. في هذه المقالة سوف نفهم فيزياء العملية.
أولاً ، نكتب صيغة المجال المغناطيسي للمغناطيس الدائم ، ونحسب التدفق المغناطيسي الذي يمر عبر المقطع العرضي للأنبوب ، ثم نقوم بتحريك المغناطيس ونكتشف ما يحدث التيار الكهربائي المستحث في المعدن ، وما هي الطاقة الكهربائية المشتتة ، وكتابة وحل معادلة حركة المغناطيس الدائم.

وإذا قرأت هذا المكان ولم تكن خائفا ، فمرحبا بك في القات - فسيكون ذلك أكثر إثارة للاهتمام!

أنا نفسي أفكر منذ فترة طويلة في فهم هذه المشكلة بدقة. ومؤخراً ، بدأت محادثة مع زميل عمل. طُلب من طفله تقديم عرض علمي في المدرسة ، حيث حصل أبي على قطعة من أنبوب نحاسي ومغناطيس النيوديميوم-الحديد البورون. فهم الطفل ، وقدم عرضًا للتجربة أمام الفصل ، وقدم تفسيرات ، ولكن لا أعجب الفصل ولا المعلم بشكل خاص. في مسابقة التجارب العلمية ، فاز بركان (!) من الصودا وحامض الستريك =) ألقينا أنا وزميلي نظرة سريعة وأدركنا أنه من الواضح أنها مظلمة. وفي الأدب لم يكتب الكثير عن هذا الموضوع. ودفعتني هذه المحادثة إلى محاولة عبور الغابة. في هذه المقالة أكتب ما فعلته.

وصف التجربة

لنبدأ بمشاهدة فيديو يوضح التجربة. قبل الخوض في النظرية ، سيكون من المفيد تقديم صورة لما يحدث بشكل عام. على الإنترنت ، تم شرح هذه التجربة وعرضها على الفيديو عدة مرات. لكنني أحتاج أيضًا إلى وصفه هنا ، بحيث يتضح لاحقًا ما نرفض منه.

يضع المجرب مغناطيسًا دائمًا على شكل كرة صغيرة في أنبوب نحاسي ، يحمله عموديًا. على عكس التوقعات ، لا تسقط الكرة عبر الأنبوب مع تسارع الجاذبية ، ولكنها تتحرك داخل الأنبوب بشكل أبطأ بكثير.

لذا ، في التجربة ، نلاحظ كيف يتحرك مغناطيس دائم داخل أنبوب نحاسي مجوف بسرعة ثابتة. نقوم بإصلاح نقطة عشوائية في جسم الأنبوب النحاسي ونرسم عقليًا مقطعًا عرضيًا. يمر تدفق مغنطيسي ناتج عن مغناطيس دائم عبر هذا القسم من الأنبوب النحاسي. يرجع ذلك إلى حقيقة أن المغناطيس يتحرك على طول الأنبوب ، وهو متغيرالتدفق المغناطيسي ، إما يزداد أو ينقص اعتمادًا على ما إذا كان المغناطيس يقترب أو يتحرك بعيدًا عن النقطة التي أجرينا فيها القسم عقليًا. وفقًا لمعادلات ماكسويل ، فإن التدفق المغناطيسي المتناوب يولد مجالًا كهربائيًا دواميًا ، بشكل عام ، في الفضاء بأكمله. ومع ذلك ، فقط عندما يكون هناك موصل ، يقوم هذا المجال الكهربائي بتعيين شحنات خالية من الحركة تقع في الموصل - ينشأ تيار كهربائي دائري ، والذي يخلق بالفعل مجال مغناطيسي خاص به ويتفاعل مع المجال المغناطيسي لمغناطيس دائم متحرك. ببساطة ، يخلق تيار كهربائي دائري مجالًا مغناطيسيًا من نفس علامة المغناطيس الدائم ، وتعمل قوة تبديد معينة على المغناطيس ، وعلى وجه الخصوص قوة الاحتكاك. يمكن للقارئ أن يسأل سؤالاً عن حق:"احتكاك ماذا عن ماذا؟" يحدث الاحتكاك بين المجال المغناطيسي لثنائي القطب والموصل. نعم ، هذا الاحتكاك ليس ميكانيكيًا. بدلا من ذلك ، لا تلمس الجثث. والسماح كذلك! لا يزال هناك احتكاك!

بشكل عام ، في كل شيء يبدو كل شيء أكثر أو أقل تعقيدًا ، ولكن هل يمكن وصف ذلك بلغة الرياضيات؟ هيا بنا نبدأ ...

الوصف الرياضي

أولاً ، نحتاج إلى نموذج رياضي لمغناطيس دائم. في رأيي ، سيكون من الملائم أن نتخيل مغناطيسًا دائمًا كقطب مغناطيسي.

$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3(\vec{p}_m\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}_m}{r^3}\right)$$

يتم قبول الترميز هنا. $$$\vec{r}=(r,z)$ هو ناقل الشعاع من مركز ثنائي القطب إلى نقطة المراقبة ، $$$\vec{p}_m$هو ناقل لحظة ثنائي القطب.

بعد ذلك ، نحتاج إلى الكتابة$$$z$- أحد مكونات ناقل الحث المغناطيسي لحساب التدفق المغناطيسي الملتقط في المقطع العرضي لمعدن الأنبوب النحاسي. نحن نكتب$$$z$- مكون المجال المغناطيسي هنا

$$

$$B_z(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}$$

الآن نكتب التعبير عن التدفق المغناطيسي من خلال المنطقة المغطاة بدائرة نصف قطرها $$$r$ على مسافة $$$z$ من ثنائي القطب.

$$

$$\Phi(r,z) = \int_0^{2\pi}\int_0^r B_z(r',z)\,r'\,dr'\,d\varphi = 2\pi\int_0^r \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r'^2}{\left(r'^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}\,r'\,dr'$$

لن تصدق ذلك ، ولكن هذا جزء لا يتجزأ. لن أتحمل. الجواب جميل جدا

$$

$$\Phi(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{2}\frac{r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{3}{2}}$$

يرجع ذلك إلى حقيقة أن ثنائي القطب يتحرك على طول المحور $$$z$ بسرعة $$$v$، يجب عليك أيضًا إجراء بحث قياسي $$$\Phi(r, z)\rightarrow \Phi(r, z - v t)$
يبدو أن الوقت قد حان لطلب المساعدة لإحدى معادلات ماكسويل العظيمة ، وهي المعادلة التي تصف قانون فاراداي :

تغير في التدفق المغناطيسي يمر عبر سطح مفتوح $$$S$يؤخذ مع العلامة المعاكسة يتناسب مع دوران المجال الكهربائي في حلقة مغلقة $$$L$وهي حدود السطح $$$S$

$$

$$\oint_L \vec{E}\,dl = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \vec{B}\,d\vec{s}$$

أو نفس الشيء

$$

$$2\pi r E_\varphi = -\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r,z - v t)$$

استخدمنا هنا التماثل المحوري للمشكلة فيما يتعلق بالمحور $$$z$، وأخذت في الاعتبار أيضًا أن المجال الكهربائي المستحث يحتوي فقط على المكون السمتي $$$\vec{E} = E_\varphi \vec{e}_\varphi$.
من هنا يمكن للمرء أن يجد المكون السمتي للمجال الكهربائي الناجم عن المغناطيس.

$$

$$E_\varphi(r,z) = -\frac{1}{2\pi r}\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r, z - v t)=-\frac{3\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{rv(z-v t)}{\left(r^2 + (z-v t)^2\right)^\frac{5}{2}}$$

الآن بعد أن أصبح لدينا تعبير عن المجال الكهربائي ، يمكننا استدعاء الأنبوب. كما هو موضح في الشكل أعلاه ، يكون نصف القطر الداخلي للأنبوب$$$a$والخارجي - $$$b$. مادة الأنابيب من النحاس. في الوقت الحالي ، سنحتاج فقط إلى التوصيل الكهربائي للنحاس. نشير إلى الموصلية بها$$$\sigma$.
يتسبب المجال الكهربائي داخل الموصل في تيار كهربائي. لذلك ، يمكننا كتابة قانون أوم في شكل تفاضلي

$$

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}$$

يؤدي التيار الكهربائي ، بدوره ، إلى خسائر أومية داخل الموصل. وبعبارة أخرى ، تتبدد الطاقة داخل الموصل وتتحول إلى شكل حرارة ، بشكل دقيق ، في حالتنا ، في الحجم الكامل للموصل.
كثافة الطاقة الحجمية للخسائر الأومية هي بحكم التعريف تساوي

$$

$$w = \vec{j}\cdot\vec{E} = \sigma E^2$$

من ناحية أخرى ، عندما يتحرك المغناطيس من الأعلى إلى الأسفل ، تقل الطاقة الكامنة للمغناطيس في مجال الجاذبية الأرضية ، ومع ذلك ، تظل سرعة الحركة ثابتة ، أي أنها لا تزيد ، كما يحدث مع السقوط الحر. هذا يعني شيئًا واحدًا فقط: الطاقة المغناطيسية تبدد داخل الموصل. ومن وجهة نظر القوى المؤثرة على المغناطيس ، تعمل قوة الاحتكاك عليها ، مما يبطئها ويتبدد الطاقة الكامنة للمغناطيس إلى حرارة.
نكتب الآن توازن الطاقة في المشكلة: معدل انخفاض الطاقة الكامنة يساوي قوة الخسائر الأومية في الموصل.

$$

$$\frac{dE_p}{dt} = P$$

$$

$$-mg\dot{z} = \int_V w\,dV$$

$$

$$mgv = \int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{2\pi}\int_a^b \sigma E^2\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$

وتجدر الإشارة هنا إلى أن الطاقة الكامنة في الإحداثيات الموضحة في الشكل أعلاه ستكون مساوية لـ $$$E_p = - mgz$، ولإيجاد القوة الكلية للخسائر الأومية ، من الضروري الاندماج $$$w$على كامل حجم الموصل. نحن نعتبر طول الأنبوب غير محدود. هذا ليس بعيدًا عن الحقيقة ، نظرًا لأنه في التجربة من الفيديو ، يكون قطر المغناطيس أصغر بكثير من طول الأنبوب.

يبدو أن التكامل الثلاثي الأخير معقد للغاية. وهكذا هي! ولكن ، أولاً ، التكامل السمتي$$$\varphi$ يمكن استبداله ببساطة عن طريق الضرب في $$$2\pi$بسبب التماثل المحوري للمشكلة. ثانيًا ، يمكن تغيير ترتيب التكامل في هذا التكامل الخاص وإدماجه أولاً$$$z$ثم بعد ذلك $$$r$. ثالثا ، عند الاندماج$$$z$ على حدود غير محدودة ، يمكننا تجاهل المصطلح بأمان $$$-vt$. يتم أخذ التكامل المتبقي بواسطة الجهاز.

$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{z^2\,dz}{\left(r^2 + z^2\right)^5} = \frac{5\pi}{128r^7}$$

والنتيجة هي إجابة عن القوة الكاملة للخسائر الأومية

$$

$$P = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)v^2 = k\,v^2$$

هنا ، بعد علامة التساوي الثانية ، قمنا بتعيين معامل الاحتكاك

$$

$$k = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)$$

لاحظ أن معامل الاحتكاك $$$k$ يعتمد فقط على مغنطة المغناطيس $$$p_m$، خصائص المواد موصل $$$\sigma$ والأبعاد الهندسية للأنبوب $$$a$ و $$$b$- أي أنها تعتمد فقط على معلمات المغناطيس والأنبوب ولا تعتمد ، على سبيل المثال ، على السرعة أو الوقت. هذه علامة جيدة لنا ورصيد صغير للصيغ الموجودة! من هنا يتضح لماذا تم اختيار أنبوب نحاسي لإثبات الخبرة ، وليس ، على سبيل المثال ، أنبوب فولاذي. يعتمد الاحتكاك خطيا على الموصلية$$$\sigma$، وموصلية الصلب أقل بترتيب من الحجم.



يمكن التسجيل الآن

$$

$$mgv=kv^2\\mg = kv$$

وفجأة (!) ، أمامنا قانون نيوتن الثالث! القوة تساوي قوة المضاد. يمكننا إيجاد السرعة الثابتة للمغناطيس

$$

$$v_s = \frac{mg}{k}$$

معادلة الحركة

لقد كان دور معادلة الحركة. باستخدام قانون نيوتن الثاني ، سيتم كتابته ببساطة شديدة

$$

$$ma=mg - kv\\ m\ddot{z} + k\dot{z} = mg$$

حل المعادلة من أجل $$$z(t)$غير مثيرة للاهتمام ، لأن حسنًا ، تتغير الإحداثيات بسرعة ثابتة. من المفيد أكثر معرفة مدى سرعة استقرار الهبوط ، وهو ما يعادل معدل الهبوط المستقر. بشكل عام ، تحتاج إلى حل هذه المعادلة للسرعة

$$

$$\dot{v} + \frac{k}{m} v = g$$

وسيكون الحل

$$

$$v(t) = v_0\,e^{-\alpha t} + v_s\left(1 - e^{-\alpha t}\right)$$

هنا $$$\alpha = k/m$- معامل التوهين. الوقت المميز للوصول إلى وضع السقوط الثابت هو$$$\tau = \alpha^{-1}$. سرعة البدء -$$$v_0$، سرعة ثابتة - $$$v_s$.

بشكل عام ، هذه هي معادلة القفز بالمظلات. ربما هذا هو السبب في مقال الميكانيكا الشعبية يسمى "المظلة المغناطيسية".

تجربة عددية

والآن سيكون هناك شيء تم تصور كل هذا من أجله. لقد أحضرت نظرية هنا ، كما تعلم. ما هي قادرة؟ فجأة مثل الظل على سياج الماشية؟ أو أنها لا تعمل على الإطلاق ...

تحتاج أولاً إلى التعامل مع هندسة المشكلة. وبالتالي ، فإن الفيديو من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا هو أمريكي. سأحاول تخمين حجم التثبيت التجريبي الخاص بهم بالبوصة (كما يحبون قياس كل شيء بالبوصة). حجم المغناطيس مشابه$$$d = 1/2$بقطر بوصة. هذا هو واحد من تلك المعروضة للبيع. ثم ستكون كتلة هذا المغناطيس تقريبًا$$$m = 8$ د - طول الأنبوب النحاسي مشابه $$$l = 12$ بوصة (1 قدم) ، والأقطار الداخلية والخارجية للأنبوب على الأرجح $$$2a = 3/4$ بوصات $$$2b = 3/2$بوصات.

مع الهندسة ، يتم فرزها نوعًا ما. الآن الخصائص الفيزيائية. الموصلية النحاسية$$$59.5\times 10^6$م / م

في وقت سابق كتب هنا أنه لم أستطع ربط مغنطة مغناطيس نيوديميوم مع عزمه المغناطيسي المكافئ. ولكن كان هناك أناس طيبون في التعليقات. المستعملدينيشواقترح المصدر (انظر الفقرة 5 في قائمة المراجع) حيث يمكنك القراءة ، وساعد في إجراء الحسابات اللازمة ، وحتى فحصها في محاكي FEMM.


حساب المجال المغناطيسي للكرة من NdFeB على محاكي FEMM. الصورة مقدمة من المستخدمدينيشو

لذا ، ما تم اكتشافه. ينتمي مغناطيس ندفيب إلى فئة المعلمات المغناطيسية ، لأنه تحت تأثير المجال الخارجي ، يتم تضخيم المجال الداخلي. علاوة على ذلك ، فإن سبيكة NdFeB قادرة على الحفاظ على المجال الداخلي بعد إنهاء المجال الخارجي. تصنف هذه الحقيقة ندفيب كمغناطيس حديدي. إذا أشرنا إلى تحريض المجال الداخلي للمغناطيس$$$B$والمجال المغناطيسي الخارجي $$$H$ثم المساواة

$$

$$B = \mu \mu_0 H = (1 + \chi)\mu_0 H = \mu_0(H + I)$$

هنا $$$\chi$ - القابلية المغناطيسية للمادة ، و $$$I$هو ناقل مغنطة المادة.

عندما يصنع مغناطيس في مصنع ، يتم مغنطة مجال خارجي.$$$H$ثم يتم إيقاف تشغيل المجال الخارجي ، ويحتفظ المغناطيس ببعض المغنطة المتبقية $$$B_r$. من المعروف أنه بالنسبة لمغناطيس النيوديميوم ، فإن المغنطة المتبقية تقريبًا$$$B_r = 1\,..\,1.3$ T. الآن ، إذا قمت باستبعاد المجال الخارجي $$$H$ من المعادلة السابقة نحصل عليها

$$

$$B_r = \mu_0I$$

أين نجد العزم المغناطيسي لكل وحدة حجم من المواد $$$I$ مثل

$$

$$I = \frac{B_r}{\mu_0}$$

للعثور على العزم المغناطيسي للمغناطيس ككل ، تحتاج إلى الضرب $$$I$ لكل حجم الكرة $$$V$

$$

$$p_m=IV=I\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3$$

لتمغنط المتبقية $$$B_r = 1$ يتم الحصول على T $$$p_m = 0.853$Am².
يوجد أدناه رسم بياني$$$z$- مكونات المجال المغناطيسي حسب الإحداثيات الشعاعية في مشكلتنا على مسافة نصف قطر الكرة.


$$$z$- مكون من مجال مغناطيسي بالقرب من سطح مغناطيس دائم

بمجرد إمكانية القياس بجهاز. عادة ما تكون الحقول الموجودة على سطح هذه المغناطيسات أقل من المغنطة المتبقية وتبلغ حوالي عدة آلاف من الغاوس. ما قمت بقياسه لمغناطيس مستطيل كان حوالي 4500 Gs. لذلك ، لدينا نتيجة واقعية للغاية على مؤامرة المجال المغناطيسي.

الآن سنستخدم حل معادلة الحركة لرسم سرعة المغناطيس. بالنسبة لجميع المعلمات المحددة أعلاه ، فإن معامل الاحتكاك يساوي$$$k = 1.015$ N / (م / ث) ، سرعة ثابتة - $$$v_s = 7.77$سم / ثانية - فقط حوالي 3 بوصات في الثانية! في الفيديو ، تمر الكرة من خلال أنبوب 12 بوصة في حوالي 4 ثوان.


رسم بياني لحل معادلة حركة المغناطيس في أنبوب نحاسي


ونستمر. تبديد الطاقة تقريبا$$$P \approx 6$ ميغاواط ، والوقت المميز للوصول إلى حالة الاستقرار هو $$$\tau \approx 8$تصلب متعدد فيما يلي الرسوم البيانية.$$$v(t)$ لسرعتين أوليتين مختلفتين: صفر و $$$v_0 = 15$سم / ثانية.

بالإضافة إلى المستخدمvashu1لاحظ بحق أنه سيكون من الجيد معرفة التيار المستحث في أنبوب نحاسي. حسنا ، وهذا ممكن. دمج

$$

$$J = \int_{0}^{\infty}\int_a^b \sigma E(r,z)\,dr\, dz = \frac{\sigma\, v\,\mu_0\, p_m}{4\pi}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

دمج بواسطة $$$z$إنه ضروري وفقًا لحدود شبه لانهائية ، حيث يتدفق التيار في النصف الآخر من الأنبوب في الاتجاه المعاكس. حصلت على الجواب$$$J = 20$ج: بصراحة ، لم أكن أتوقع الحصول على مثل هذا التيار الكبير. عند المستخدمvashu1اتضح 50 أ ، والتي ، على ما يبدو ، ليست بعيدة عن الواقع. أعتقدvashu1قمت بحساب مجموع التيارات في الأنبوب بأكمله ، والذي ، لأسباب تتعلق بالطاقة ، معقول أيضًا.

هنا مثل هذه الدراسة. اتمنى ان يكون هذا مثيرا للاهتمام اترك تعليقاتك. سأحاول الإجابة على الجميع. إذا أعجبك المقال ، ادعم المؤلف مثل أو زائد في الكرمة. شكرا للقراءة.

المؤلفات

1. جاكسون ، ج. الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية: بير. من الانجليزية العالم ، 1965.
2. لانداو ، LD ، و Lifshitz ، EM (1941). نظرية المجال. موسكو ؛ لينينغراد: دار النشر للأدب التقني والنظري.
3. Sivukhin، D. V. "المسار العام للفيزياء. المجلد 3. الكهرباء ". موسكو ، دار النشر "ساينس" ، الطبعة الرئيسية للأدب الفيزيائي والرياضي (1977).
4. Yavorsky و B.M و A. A. Detlaf. "كتيب الفيزياء". (1990).
5. Kirichenko N.A. الكهرباء والمغناطيسية. الدورة التعليمية. - م: MIPT ، 2011. - 420 ص.