Get best of the week

كيف π يجمع بين كتل تصادم وخوارزمية البحث الكم

اكتشف فيزيائي فضولي علاقة غير متوقعة بين نظرية كتل الاصطدام وخوارزمية البحث الكمي الشهيرة




ما هو المشترك بين أرقام π وكتل التصادم وخوارزميات البحث الكمومي؟ أكثر مما تتصور. يتم توفير هذا الصدد من قبل اثنين من الأعمال العلمية روح الدعابة - واحد من عام 2003، و الثانية في الفترة من ديسمبر 2019. معا أنها تجمع بين عوالم ديناميكية، والهندسة والكم الحوسبة، والتي تبين كيف أن معظم الألغاز الرياضية المجردة يمكن أن تكشف من المستغرب اتصال مع الفيزياء.

قفل


للبدء في فهم هذه الروابط ، تخيل كتلتين معدنيتين تزن كل واحدة منهما 1 كجم. هم على السطح دون احتكاك ، على يمين الجدار الثابت. الكتلة الأقرب إلى الحائط هي بلا حراك ، والثاني ينزلق نحوها ، ويقترب إلى اليمين. لا بد من حدوث سلسلة من الاشتباكات ؛ افترض أن الطاقة الحركية لا تختفي في التصادمات. في ظل هذه الظروف المثالية ، ستستمر هذه العملية على النحو التالي:


تضرب الكتلة اليمنى إلى اليسار ، مما يمنحها دفعة كاملة. ترتد الكتلة اليسرى من الحائط ، وتعود إلى اليمين لتصادم آخر ونقل دفعة كامل آخر.

ومع ذلك ، إذا قمت بزيادة كتلة الكتلة اليمنى ، سيصبح الوضع أكثر إثارة للاهتمام. إذا كان يزن 100 كجم ، فكل تصادم سينقل جزءًا صغيرًا فقط من زخمه إلى الكتلة الأصغر ، وبدلاً من عدد التصادمات سيزيد من 3 إلى 31.


مع نسبة الكتلة من 10000 إلى 1 ، سيتم حل الوضع بعد 314 تصادم.


قم بزيادة الفارق عن طريق ضرب الكتلة في 100 ، وستتمكن من ملاحظة اتجاه صادم: سيبدأ عدد التصادمات في الاقتراب من العدد number أقرب وأقرب.


كان جريجوري جالبرين ، عالم رياضيات من جامعة إيست إلينوي ، أول من لاحظ هذه الظاهرة [في عام 1993]. في عام 2003 ، شرحها بتصور حركات الكتل من خلال نقطة متحركة ، تشير إحداثياتها س إلى موقع كتلة واحدة وإحداثيات ص للثانية. يرتبط مسار نقطة على الطائرة بنصف دائرة ، حيث تظهر π.

نتيجة رائعة ، حتى لو كانت هذه الظروف المثالية تجعلها تبدو عديمة الفائدة. ومع ذلك ، إذا أهملت غموض العالم الحقيقي في الرياضيات ، يمكنك العثور على انتظام نقي يكشف عن اتصالات غير متوقعة مع مجالات علمية أخرى.

في عام 2019 ، نشرت مجموعة من ثلاثة مقاطع فيديولشرح نتائج هالبرين ، وكان من بين أولئك الذين نظروا إليها آدم براون ، باحث من Google وفيزيائي في جامعة ستانفورد. بعد بضعة أشهر في المؤتمر ، أخذني لمشاركة ملاحظته. لفرحته ، اكتشف أن الرياضيات التي تصف ديناميكيات هذه الكتل ، من وجهة نظر معينة ، تصبح متطابقة مع الرياضيات التي تصف واحدة من أشهر خوارزميات الكم.

نهج الكم


يقودنا هذا إلى الجزء الثاني من اللغز: كيف يعمل البحث الكمي.

افترض أن لديك قائمة طويلة من الأسماء بدون فرز - لنقل مليون - وتحتاج إلى العثور على اسم محدد. ليس لديك خيارات أخرى غير التحقق من اسم تلو الآخر حتى تصادف الاسم الصحيح. في المتوسط ​​، ستستغرق نصف مليون تكرار. أحيانًا أكثر ، وأحيانًا أقل ، ولكن على أي حال ، سيستغرق الأمر بعض الوقت.

يمكن لجهاز الكمبيوتر القيام بهذا البحث نيابة عنك ، ولكن المشكلة في القوائم الكبيرة هي أن مقدار الوقت الذي تستغرقه معالجتها سيزداد بما يتناسب مع حجمها. على الأقل عند استخدام جهاز كمبيوتر كلاسيكي. ولكن في عام 1996، والحب جروفر، الذي كان يعمل في مختبرات بيل، وصفتكيف يمكن لجهاز الكمبيوتر الكمومي إجراء مثل هذا البحث بشكل أسرع بكثير ، ولا يزيد عن 1000 خطوة. في الحالة العامة ، سوف يتعامل الكمبيوتر الكمومي مع قائمة الطول N في π / 4 √N الخطوات. لاحظ أنه مع زيادة العدد N ، فإن عدد الخطوات التي ينموها الكمبيوتر الكمومي أبطأ من الخطوة الكلاسيكية.

إن فعالية البحث هذه ممكنة لأن الكمبيوتر الكمومي يعالج جميع عناصر القائمة في نفس الوقت. ومع ذلك ، فهو لا يفعل نفس الشيء الذي يفعله الكمبيوتر الكلاسيكي ، فقط في نفس الوقت.

يجيب جهاز كمبيوتر كلاسيكي على السؤال: "هل العنصر الحادي والعشرون في القائمة هو الاسم الذي أحتاجه؟" ويكررها لكل موضع في القائمة ، من 0 إلى 999999. بشكل مباشر ، ولكن ليس فعالًا جدًا.

لكن خوارزمية غروفر تعمل مع طريقة قائمة ، والتي تبدو غريبة في البداية ، ولكن في النهاية أكثر فائدة. يمكن للكمبيوتر الكلاسيكي ببساطة قراءة أجزاء من الذاكرة. تؤدي حالات عدم اليقين الموجودة في الحوسبة الكمومية إلى حقيقة أنه لا يمكنك سحب مكونات الناقل التي تعمل معها بشكل مباشر. كل منصب في القائمة له هيكل احتمالي إضافي. لا تنظر إلى الاسم الموجود في هذا الموضع ، بل تقيس القائمة بأكملها ، وتحصل على موضع عشوائي - فهرس - وفقًا للاحتمالات. نظرًا لميكانيكا الكم الأساسية ، بدلاً من العمل مباشرة مع القيم الاحتمالية ، نعمل مع الأرقام التي يتوافق مربعها مع احتمالية الحصول على فهرس يتوافق مع الاسم الذي تبحث عنه.



كيف يمكن قراءة فهرس عشوائي في متناول اليدين؟ فن الحوسبة الكمومية هو التلاعب بقائمة من الاحتمالات التي تبني احتمالات في صالحك. في مثالنا ، هذا يعني اختراع طريقة (وهو ما تفعله خوارزمية Grover) للحصول على الرقم المرتبط بفهرس الاسم الذي تبحث عنه ، على مقربة من الوحدة ، بحيث تكون جميع الأرقام الأخرى قريبة من الصفر. بعد ذلك ، عند قراءة هذه القائمة وتلقي فهرس استجابة ، من المحتمل أن تعرف أنها تتوافق مع الاسم الذي تبحث عنه.

تتكون أدوات الحوسبة الكمومية من العمليات التي يمكن للباحث تطبيقها على قائمة الاحتمالات. في الرياضيات ، تسمى هذه القائمة متجه. غالبًا ما يكون من السهل تخيل المتجه كنقطة في نظام الإحداثيات ، أو كسهم مرسوم من الأصل إلى هذه النقطة.



يمكن تمثيل متجه مكون من عنصرين كسهم في فراغ ثنائي الأبعاد. يعيش ناقل يحتوي على 1000000 عنصر في مساحة مذهلة تبلغ 1000000 الأبعاد. تبدو العمليات التي يتم إجراؤها بواسطة كمبيوتر كمومي مثل المنعطفات والانعكاسات لهذا السهم. رقميا ، يشار إلى كل عملية بمصفوفة.



تكون الحسابات الكمية سريعة بشكل خاص لأن كل عملية يتم إجراؤها باستخدام متجه الاحتمال بالكامل ، ولا تمر بمرحلة مكونة. اكتشف غروفر طريقة صعبة للتعامل مع متجه معين باستخدام زوج من العمليات المتقطعة ، مما أدى إلى ناقل مع الاحتمالات التي نحتاجها. من المهم أن يكون العدد الإجمالي للعمليات المطلوبة أصغر بكثير من حجم القائمة.

إذا كان من الصعب عليك أن تتخيل كيف يمكن أن يعمل هذا ، فأنت لست الوحيد. لذلك ، كان آدم براون سعيدًا جدًا لاكتشاف طريقة لتخيل هذه التلاعبات المجردة من حيث لغز أكثر قابلية للفهم.

الروابط المخفية


اتضح أنه عندما شاهدت مقاطع الفيديو الخاصة بي حول حساب الرقم π باستخدام كتل متصادمة ، كان براون يضع خوارزمية غروفر في ذهنه ، لذا لاحظ على الفور ارتباطها. قال براون: "إذا كنت تقضي طوال اليوم في التفكير في البحث الكمي ، فحينئذٍ يبدأ كل شيء يبدو كبحث كمي ، وقد حدث ذلك عن طريق الصدفة أن هذه الحالة تبين أنها ذات صلة بالبحث الكمي".

وإذا كان عمل Galperin على تصادمات الكتل يستخدم مساحة ترميز موقع كل كتلة ، فإن الاتصال مع البحث الكمي لـ Grover يبدأ بمتجه الذي ترمز مكوناته x و y إلى سرعة كل كتلة. كل تصادم للكتل يترجم إلى عملية محددة على هذا الناقل ، وتغيير مكوناته. على سبيل المثال ، عندما تصطدم الكتلة اليسرى بالجدار ، وتغير الاتجاه إلى الاتجاه المعاكس ، فإن هذا يعني أن مكون متجهنا مضروب في -1 ، ويظل المكون x دون تغيير. من وجهة نظر هندسية ، يبدو هذا بمثابة انعكاس لمتجه حول المحور س.

وبالمثل ، عندما تصطدم كتلتان ، فإن التغيير في سرعاتها يكون مشابهًا لقلب آخر من هذا الناقل ، يتم تعويضه فقط من المركز. عندما تستمر المحاكاة ، سوف تصطدم الكتلة اليسرى مرة أخرى بالجدار ، مما سيؤدي إلى دوران آخر على المحور س. اصطدام آخر للكتل يعني ثورة أخرى. نتيجة لذلك ، مع وجود عدد كاف من التصادمات ، سيملأ المتجه المنحنى المألوف: الدائرة.


وأشار براون إلى أنه إذا تم وصف هذا الموقف بشكل صحيح ، فإن هاتين العمليتين ، اللتين تتغيران في اتجاه أو آخر ، متطابقتان مع العمليتين اللتين استخدمهما غروفر في خوارزمية البحث الكمومي.

لفهم كيفية حدوث ذلك ، تخيل كتلة كبيرة على شكل كيلوغرامات ملتصقة ببعضها البعض. ثم ، بدلاً من متجه ثنائي الأبعاد يصف كل سرعة ، نحصل على متجه N-dimensional ، حيث N هو العدد الإجمالي للكتل الصغيرة ، بما في ذلك الكتلة المعزولة على اليسار. كل كتلة صغيرة تتوافق مع اسم في قائمة غير مرتبة ، وكتلة منفصلة على اليسار تقابل اسم الهدف.

أثبت براون في عمله أن الطريقة التي تغير بها هذه التصادمات من الكتل المتجه الذي يصفها متطابقة تمامًا مع الطريقة التي تغير بها خوارزمية غروفر ناقل الكم الذي يشير إلى قائمة غير مرتبة من الأسماء. اللحظة في نظام كتل الاصطدام ، عندما تكون كتلة كبيرة على وشك الدوران ، وكل طاقة النظام تقريبًا في كتلة صغيرة ، تتوافق مع اللحظة في خوارزمية غروفر ، عندما يكون كل الاحتمال تقريبًا في الاسم الذي تحتاج إلى العثور عليه.

حقيقة أن الرقم π يظهر عند حساب التصادمات ينعكس في خوارزمية Grover: π / 4 √N خطوات. كما يعكس الجذر التربيعي في التعبير إلى أي مدى يذهب حساب أرقام π (بالدرجات 10) بعد ضرب كتلة كتلة كبيرة في 10.

قال براون "حتى الآن ، إنها مجرد وسيلة للتحايل". "ولكن في الفيزياء ، تعلمنا أنه كلما زادت طرق التفكير في مشكلة ما ، زاد عدد الأفكار التي يمكننا رؤيتها - لذا آمل أن تكون هذه الحقيقة مفيدة يومًا ما". لدينا عدد قليل من الطرق البديلة الجيدة لتصور خوارزمية غروفر.

تؤكد هذه الروابط على قدرات لغة الرياضيات العالمية. يعمل استخدام المتجهات لترميز حالة النظام الفيزيائي على كل من التصادمات على نطاق واسع للكتل وعلى المقاييس الميكروية للحالات الكمومية. العديد من الأفكار الأساسية في الرياضيات ، والتي تبدو للوهلة الأولى منفصلة عن الواقع بشكل مزعج ، تتحول إلى أدوات قوية ، لأنه إذا حذفت التفاصيل المادية في منطقة واحدة ، يمكنك العثور على اتصالاتها المخفية مع الأخرى.

More articles:


All Articles