📯 👏🏿 🗓️ القوانين الطبيعية والرياضيات الأنيقة: المشكلات والحلول ☔️ ⛑️ 👇🏽

إذا كانت الرياضيات يمكن أن تعطينا شرحًا أنيقًا للعديد من الظواهر الفيزيائية ، في بعض الأحيان في المواقف الحقيقية ، من الضروري الخوض في مجموعات كبيرة من البيانات العددية

منذ زمن فيثاغورس ، يؤمن الناس بالقدرة الخاصة للرياضيات الجميلة على أن تكشف لنا جميع أسرار العالم. استخدمنا المقالة الشهيرة التي كتبها يوجين فيجنر " فعالية غير معقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية " لمناقشة هذا الموضوع مع القراء وحل العديد من المشاكل المرتبطة به. كانت المهام لإثبات أنه ، على الرغم من أن الرياضيات مفيدة حقًا لإنشاء نماذج مثالية وتفسيرات أنيقة للعديد من الظواهر الفيزيائية ، في المواقف الحقيقية ، من الضروري في بعض الأحيان الخوض في مجموعات كبيرة من البيانات الرقمية.

السيناريو 1: البساطة والتوحيد

أ) ينزلق الجسم فوق سطح متجانس ، بسرعة أولية تبلغ 1. لكل وحدة مسافة ، تنخفض سرعته بمقدار 1/10 من القيمة التي كانت عليه قبل البدء في تمرير هذا الجزء المعين. إلى أي مدى يمكن لجسم ما أن يسافر قبل أن يتوقف تمامًا؟ ما هي الصيغة العامة لحسابها؟

هذه المهمة لها صيد. للوهلة الأولى ، تستدعي مفارقة زينو من أخيل والسلحفاة، الذي ينتج عنه تقدم هندسي لا نهائي 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... لكل من الوقت والمسافة. على الرغم من أن هذا التسلسل لا نهائي ، فإنه يتقارب ، وبالتالي من الممكن حساب المبلغ الإجمالي (في هذه الحالة ، 2). لذلك ، في هذه الحالة ، يتم تغطية المسافة المحدودة في وقت محدود [يمكن القول: هنا نحن لا نتحدث عن نموذج رياضي ، ولكن عن الحركة الحقيقية ، وبالتالي لا معنى لقصر تحليل المفارقة على الرياضيات - لأن زينون يلقي بظلال الشك على قابلية تطبيق المثالية على الحركة الحقيقية المفاهيم الرياضية / تقريبا. ترجم.].

نص مخفي

, , , . , () , . , , , . , , , . , , . D T – , ( ):

D = \frac{\log (\frac{T}{9} + 1)}{\log \frac{10}{9}}

$D=\frac{\log \left(\frac{T}{9}+1\right)}{\log \frac{10}{ 9}}$

, , – . ? , ! , , , , , , , , , , , , . , , , , . , . - , . : « , ; , ». , , , . , , , .

, , , , , , , . , .

ب) يمكن للآلة التحرك إلى الأمام والجانب ، بنفس السهولة. سرعة الإبحار العادية في أي اتجاه هي وحدة واحدة على سطح أملس. يوضح الشكل أنها بحاجة إلى التغلب على 10 شرائط تضاريس ، يبلغ طول كل منها 10 وحدات وعرض وحدة واحدة. طول الشرائط متعامد على الاتجاه الذي تحتاج إليه الماكينة للتحرك. تقع الماكينة في منتصف الشريط الأول ، وهو أملس (يشار إلى الخطوط الناعمة باللون الرمادي). بعد ذلك ، تتناوب خطوط غير منتظمة (أرجوانية) وسلسة.

ومع ذلك ، فإن المخالفات على الخطوط غير المستوية ليست هي نفسها. يتكون كل شريط من 10 أقسام مربعة ، يمكننا أن نتخيلها في شكل مخالفات طريق اصطناعية. الخشونة تقف بجانب بعضها البعض ، حجم كل واحد منهم 1x1. تختلف خصائصها. يمكن أن تؤدي المخالفات إلى إبطاء سرعة الإبحار في الماكينة بقيمة تتراوح من 50٪ إلى 95٪ ، ويتم تغيير هذه القيمة في خطوات من 5٪. يتكون كل من الخطوط غير المستوية من مخالفات من جميع الأنواع العشرة ، ويتم ترتيبها عشوائيًا (يظهر الشريط الأرجواني الأول أحد الخيارات الممكنة لتوزيع المخالفات). يمكن للآلة قراءة خشونة المنطقة الواقعة أمامها مباشرة (ولكن واحدة فقط) ، ويمكنها التحرك جانبًا بسرعة الإبحار التي تساوي 1 ، بحيث ، إذا رغبت في ذلك ، تحرك خشونة أخرى ستبطئها ليس كثيرًا. لهذا ، بالطبع ،سيمر الوقت ، وإذا تحركت جانبًا ببضع مربعات ، فسيتم قضاء المزيد من الوقت. بعد التغلب على كل شريط أرجواني ، تزداد سرعة الإبحار إلى 1. ما هي الاستراتيجية التي يجب على السيارة اتباعها بأسرع طريقة عبر المنطقة بأكملها؟ كم من الوقت سوف يستغرق؟

, . , , : 2, 2.22, 2.5, 2.86, 3.33, 4, 5, 6.67, 10 20 . 1 . , 85% , , 1; 90% 95%. , , . 80% – 1 , 75%. , , . , , , . 10 , , , . , . , 80%, . .

– 85% 80%, 80%, 75%? , . 30 , . , : 80%, 75% . 3,39 , – 21,95.

, , .

2:

خذ بعين الاعتبار جسمًا صلبًا افتراضيًا على شكل مثلث مستطيل ، مع تركيز كل كتلته على القمم. من أجل البساطة ، تخيل أن هذا الكائن ثنائي الأبعاد - ليس له سمك. كل قمة هي نقطة بكتلة واحدة ، والكتلة الكلية للجسم هي 3 وحدات. يبلغ طول قاعدة المثلث 4 وحدات ، والساق الرأسية 3 وحدات ، والوتر هو 5 وحدات. تخيل أن المثلث نفسه يقع في مكان قريب ، موجه بنفس الطريقة تمامًا ، وأن متوسط المثلثات (الجزء الذي يربط منتصف الوتر مع الرأس المعاكس) يقع على خط مستقيم واحد ، وتكون رؤوس الزوايا اليمنى بفارق 4 وحدات. ماذا سيكون عامل الجذب لهم؟ هل يعمل قانون جاذبية الجاذبية إذا تم تطبيقه على مثلثين ككائنات منفصلة؟ ماذا،إذا كانت المثلثات تقع على مسافة 8 وحدات طول من بعضها البعض ، وموجهة بالطريقة نفسها؟ في مثل هذه الحالة ، هل تنجح صيغة الجاذبية بشكل أفضل؟

نص مخفي

, , . , , 3 , 4 . , Maple, , . , 68,3% , . 8 , 94,3%. [ ].

, , , .

فهل يتطلب قانون الطبيعة رياضيات أنيقة؟ وما الذي يجعل الرياضيات الأنيقة قادرة جدًا وقابلة للتطبيق في مجموعة واسعة من المشاكل؟ من بين مزايا الرياضيات ، أدرج

قارئ واحد التجريد ، والتحقق المدمج من الاتساق والاستمرارية ، والعمل مع اللانهاية ، وردود الفعل من الفيزياء والتناظر. استشهد آخر بالقصة التالية من الحياة: قبل أسابيع قليلة تحدثت مع دون لينكولن ، فيزيائي من فيرميلاب. سألته: "لماذا الرياضيات جيدة جدا في وصف الكون؟" أجاب أن الأنظمة الرياضية يمكن صياغتها بعدد لا نهائي من الطرق ، لذلك بالنسبة لأي كون له علاقات سببية ، يمكنك دائمًا العثور على منصة رياضية تصف الفيزياء.

وقد وصف قراء آخرون ملاحظات مماثلة. يبدو لي أن الرياضيات في حد ذاتها هي مجموعة ضخمة من القوانين والتقنيات التي ، بسبب تجريدها ، يمكن أن تجد التطبيق في العديد من المجالات غير ذات الصلة التي لها بنية وديناميات متشابهة ، أو تفاعل متبادل من نوع مختلف. كما أننا محظوظون لأننا نعيش في عالم تكون فيه الرياضيات الأنيقة مفيدة. كما لاحظ أحد القراء: "إن رياضيات نيوتن وقوانينها ستكون غير عملية إلى حد ما إذا كنا نعيش في كون قريب من الكون قريبًا من الحد الأقصى."

ولكن إلى أي مدى يمكن أن تصف الرياضيات الأنيقة الطبيعة؟ سأقتبس تعليق من أحد القراء بالكامل:

لا يحتاج المرء إلى التعمق في علم الأحياء ليجد أن العديد من التمثيلات الرياضية تصبح غير مكتملة بما فيه الكفاية: الكيمياء ، علم المواد ، فيزياء المادة المكثفة. على سبيل المثال ، لا يمكن وصف جزيء الماء بشكل تحليلي باستخدام أدوات ميكانيكا الكم لنفس السبب الذي يجعل مشكلة الأجسام الثلاثة غير متاحة لنا في الميكانيكا السماوية. توجد مجالات علمية كاملة ، مثل الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية ، لأن بعض النظم الفيزيائية ، مثل مكعبات الثلج في الماء ، معقدة للغاية بحيث لا تصف حسابيا كل جزيء من الماء في الجليد والقدرة ، ناهيك عن مكثفات Bose -أينشتاين أو فائض. قانون أوم هو النسخة الكهرومغناطيسية للمجموع الإحصائي الإجمالي ، وقانون هوك وموترات التوتر هي النسخة المرنة للمجموع الإحصائي الإجمالي ،وكلاهما يرفضان العمل في وقت معين أو بعد حد معين بسبب اعتماد التيار الكهربائي على درجة الحرارة والمواد ، وتأثيرات التشوه الذي لا رجعة فيه في الأجسام المادية تحت الحمل الثقيل.

إن سبب بساطة معظم الرياضيات المستخدمة في الفيزياء هو أنها مجموع إحصائي خام أو تبسيط خطير للظواهر الفيزيائية.

لماذا نحب الرياضيات الأنيقة كثيرا؟

أحد القراء علق على تعليقه "الأناقة هو أقل استهلاك للطاقة للدماغ" وكتب:

الشعور بـ "يوريكا!" ، أو تقليل التعقيد الشديد للمبدأ البسيط لتنظيم الخلايا العصبية ، أو "القانون الرياضي" في العديد من المشكلات هو مثال على التبسيط الذي يعطي شعورًا مبهجًا توفير الطاقة. قد يكون هذا المبدأ مرتبطًا بمبدأ KISS (Keep It Simple، Stupid) ، بالإضافة إلى بيان أينشتاين: "كل شيء يحتاج إلى الاختزال إلى أبسط شكل ممكن ، ولكن لا يستحق التبسيط أكثر".

إن إدراك دماغنا بأن هناك العديد من الظواهر المرتبطة ببعضها البعض في الطبيعة تؤدي إلى مثل هذا التماثل الذي يعتبره التنظيم الذاتي للخلايا العصبية وسيلة لتخزين المعلومات بأقل استهلاك للطاقة.

كما كتبت في مقالتي حول هذا الموضوع ، ماكينة حلاقة أوكام والإحساس اللطيف في وقت "يوريكا!" مسجلة بقوة في دماغنا وهي مظاهر اتصال إدراكي-عاطفي فريد يجعلنا عقلانيين. أفترض أنه في كل مرة تنخفض فيها الكمية التي أسميها "إنتروبيا نفسية" ، نحصل على مكافأة. هذا الانتروبيا النفسية ليست فقط الاكتناز ، ولكن أيضًا تنظيم الاتصالات غير المرئية حتى هذه اللحظة ، والشعور بأن كل شيء مجتمعة في وحدة واحدة. لقد جعلنا التطور ذكيًا ، حيث قدم مكافآت داخلية صغيرة بعد حل كل لغز - استراتيجية فعالة للغاية.

فهل Wigner على حق؟

نعم و لا. لقد كان على حق في أنه في الأوصاف الرياضية لبعض المشاكل الجسدية هناك أنماط وتماثلات مجردة ، ثم تظهر الرياضيات كل قوتها. ومع ذلك ، هناك مثل هذه المجالات ، في الفيزياء والعلوم المعقدة الأخرى ، عندما لا يعمل ذلك. ربما كان فيجنر صوفيًا بعض الشيء ، أو "وطنيًا للرياضيات" ، وبالغ إلى حد ما في المشكلة في مقاله.

القوانين الطبيعية والرياضيات الأنيقة: المشكلات والحلول

السيناريو 1: البساطة والتوحيد

2:

لماذا نحب الرياضيات الأنيقة كثيرا؟

فهل Wigner على حق؟

More articles: