تيار مستمر من الاكتشافات المتعلقة بمعادلات السوائل
أثار اكتشاف تجريبي مذهل متعلق بسلوك السوائل موجة من الأدلة الرياضية
ألهمت التدفقات المعقدة من السوائل في فنجان من الشاي العلماء إلى بعض الأدلة المهمة ،فالتقدم العلمي لا يتحرك دائمًا في خط مستقيم. يبدأ الباحثون في التعامل مع بعض القضايا ، ثم يسقطونها. النتائج لم تعد مصدر إلهام. قد يستغرق الأمر عقودًا لتشكيل نظرية.لكن في بعض الأحيان ، يتراكم تراكم المعرفة العلمية بشكل مباشر ، ويؤدي اكتشاف واحد إلى ظهور آخر ، كما لو أن الدومينو يقع.حدث شيء مشابه مؤخرًا في مجال الرياضيات لدراسة ميكانيكا الموائع. أطلق الاكتشاف التجريبي المذهل لعام 2013 سلسلة من البراهين الرياضية التي دمرت الأفكار التي تعود إلى قرون.قال ألكسندر كيسيليف: "لقد كانت قصة ديناميكية ومدهشة للغاية"، عالم رياضيات في جامعة ديوك ، شارك في تأليف أحد الأدلة.تستند الاكتشافات إلى معادلات أويلر التي صاغها ليونارد أويلر في 1757. استخدمها علماء الرياضيات والفيزيائيون لمحاكاة سلوك السوائل بمرور الوقت. إذا رميت حجرًا في البركة ، فكيف يتحرك السائل في خمس ثوانٍ؟ تساعد معادلات أويلر في الإجابة على هذا السؤال.لكن ليس حرفيا. تصف معادلات أويلر عالمًا مثاليًا يكون فيه للسائل العديد من الخصائص التي لا توجد في الواقع. على سبيل المثال ، تفترض المعادلات عدم وجود لزوجة في السوائل (لا تؤدي التدفقات الداخلية إلى حدوث احتكاك) ، بالإضافة إلى عدم الانضغاط (لا يمكنك دفع سائل إلى حجم أصغر مما يتطلبه بالفعل).في هذا العالم المثالي ، تستخدم هذه المعادلات قوانين الحركة لنيوتن للتنبؤ بالحالة المستقبلية للسائل. يحتاج علماء الرياضيات الذين يدرسون معادلات أويلر في نهاية المطاف إلى فهم ما إذا كانوا يعملون دائمًا. هل هناك أي سيناريوهات تتسبب في انهيار المعادلات وتمنعها من وصف سلوك المائع في المستقبل؟في عام 2013 ، قرر زوجان من علماء الرياضيات إيجاد مثل هذا السيناريو. مارس توماس هاو من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا وجوه لو من جامعة مدينة هونج كونج المحاكاة الرقمية على جهاز الكمبيوتر. أعطوا وصفاً عددياً للحالة الأولية للسائل وأمروا الكمبيوتر بتطبيق معادلات أويلر لتحديد حركة هذا السائل في المستقبل.ركز Howe و Luo على سيناريو محدد ، والذي يمكن تكراره تقريبًا حتى في المنزل. قبل مناقشة الطرق المعقدة بشكل مدهش التي يمكن أن تتحرك بها السوائل ، لنقم بتجربة يمكن للجميع تكرارها.تخيل كوبًا أسطوانيًا بقاع مسطح يسكب فيه الشاي. بعض أوراق الشاي تستريح في القاع. حرك الشاي في اتجاه عقارب الساعة. أولاً ، سيبدأ كل السائل في الدوران ككل ، وسيأخذ معه أوراق الشاي.ومع ذلك ، بعد مرور بعض الوقت على بدء الحركة ، ستبدأ قوة الطرد المركزي للسائل الدوار في التفاعل مع جدران الكأس ، مما يخلق ، كما يقول الفيزيائيون ، "تدفقًا ثانويًا" - حركة أكثر تعقيدًا تحدث استجابة للتحريك الأولي. هذه التيارات الثانوية ، التي تنزل على طول جدران الأسطوانة وأعلى في الوسط ، توضح أوراق الشاي جيدًا: فهي تتجمع في المركز في الجزء السفلي من الكأس وتبقى بلا حركة تقريبًا ، على الرغم من حقيقة أن الشاي يستمر في الدوران حولها.هذه الظاهرة ، التي لوحظت لقرون عديدة ، تسمى " مفارقة أوراق الشاي ". في عام 1926 ، قدم ألبرت أينشتاين أول تفسير رياضي لهذا السلوك.. , , . , . : . , . , , , , . , , , , . , , , . , .
- ألبرت أينشتاين (من تقرير في اجتماع للأكاديمية البروسية للعلوم في 7 يناير 1926)
النص الذي استعرضه Howe و Luo أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تخيل السائل في الاسطوانة مرة أخرى. ولكن الآن يدور السائل في الجزء العلوي من الأسطوانة في اتجاه عقارب الساعة ، كما هو الحال في فنجان من الشاي ، وفي الأسفل - عكس اتجاه عقارب الساعة. تخلق هذه الحركة العديد من التدفقات الثانوية. تظهر دوامات ، تتحرك صعودا وهبوطا على طول جدران الاسطوانة.قال هاوي: "من الأعلى ، تدور اللوالب السائلة إلى أسفل ، ومن الأسفل تدور في الاتجاه المعاكس".ببدء محاكاة عددية ، رأى Howe و Luo شيئًا غير متوقع يحدث في منتصف الكأس ، حيث تلتقي تيارات متضاربة. تشير معادلات أويلر إلى أن دوامة السائل في هذا المكان تزداد بشكل كبير. أظهرت المحاكاة أنه ، وفقًا لمعادلات أويلر ، فإن الدوامة في هذا المكان تنمو بسرعة كبيرة بحيث تصبح لانهائية في وقت محدود.
تسمى هذه القيم اللانهائية التفردات. إذا كانت معادلات أويلر تعطي تفردًا ، فإنها تنكسر - أو ، كما يقول علماء الرياضيات ، "تنفجر" - ولم تعد قادرة على وصف الحركة المستقبلية للسائل. لا يمكن حساب المعادلات بقيم لانهائية.تسبب افتتاح هوى ولوه في ضجة كبيرة. لأكثر من 200 عام ، بحث علماء الرياضيات عن سيناريوهات تكسر معادلات أويلر. قام الكثيرون بمحاكاة عددية ، والتي ، في رأيهم ، كان ينبغي أن تؤدي إلى التفرد ، ولكن لم يجتز أي منهم الاختبار على أجهزة الكمبيوتر السريعة. يبدو أن هوو ولوه قد توصلوا أخيرًا إلى مثل هذا السيناريو.قال فلاديمير سفيراك من جامعة مينيسوتا: "يعتبر العديد من الباحثين أن هذا السيناريو للحصول على التفرد هو الأكثر إقناعًا على الإطلاق".ومع ذلك ، فإن المحاكاة الحاسوبية ليست سوى دليل. هذا ليس دليلا.قال كيسيليف: "أجهزة الكمبيوتر محدودة بمعنى أنها لا تستطيع العمل بكميات صغيرة بشكل لا نهائي". "قد تبدو النتائج مقنعة ، ولكن لا يمكننا التأكد منها". ربما إذا كنت تستخدم حاسوبًا فائقًا أفضل ، يمكنك أن ترى كيف ينهار كل شيء ".لذلك ، سارع علماء الرياضيات للتحقق مما إذا كان من الممكن إثبات أن نتيجة Hou و Luo صحيحة من وجهة نظر رياضية.
علم توماس توماس ، عالم الرياضيات في معهد كاليفورنيا للتكنولوجياKiselev و Sverak عن هذه المحاكاة في عام 2013 أثناء عرض Howe في المؤتمر الصيفيفي ستانفورد. وقد دفعهم ذلك إلى البدء في العمل على إحدى المشكلات المهمة التي لم يتم حلها فيما يتعلق بمعدل نمو الدوامة في السوائل ثنائية الأبعاد. تمكنوا من إثبات فرضية طويلة الأمد فيما يتعلق بخصائص معدل النمو من خلال النظر في السيناريو الذي استخدمه Howe و Luo في محاكاةهما.قال كيسليف: "وكأننا حصلنا على هدف يمكننا أن نسعى إليه". - إنه شيء واحد عندما تصطاد ولا ترى الهدف. وهو مختلف تمامًا عندما تعرف مكانها ".وسعت الأدلة اللاحقة الفهم الرياضي لتكوين المفردات في معادلات أويلر. في 2019، طارق Elgindi من جامعة كاليفورنيا في سان دييغو نشرت اثنين من أدلةوصف الظروف التي تعطي فيها معادلات أويلر التفردات. وكان العمل السابق ل Kiselev و Sverak أحد نقاط انطلاقه.تستخدم أدلة Elgindi شروطًا خاصة ، ولا تقدم فهمًا كاملاً لتكوين المفردات في معادلات أويلر التي يحتاجها علماء الرياضيات. ومع ذلك ، هذه هي بعض من أقوى النتائج التي تحققت في هذا المجال.نظرًا لأن الدوامات في الدفق تغير خصائصها ، فإن عمل Elgindi دفع العلماء إلى موجة جديدة من الاكتشافات الرياضية. في أكتوبر 2019 ، قام Hou و Jiajie Chen بتكييف بعض طرق Elgindi لإنشاء دليل رياضي صارم.سيناريو وثيق الصلة بما تم استخدامه في تجربة 2013. لقد أثبتوا أنه في نسخة معدلة قليلاً من السيناريو ، تظهر التفرد في معادلات أويلر.قال سفيراك: "لقد أخذوا أفكار الجندي وطبّقوها على سيناريو 2013". الدائرة مغلقة.بالطبع ، لا يزال هناك الكثير من العمل. لا تسمح له بعض الميزات التقنية لإثبات Howe الجديد بتحديد وجود التفرد بالضبط في الوضع الذي صاغه في عام 2013. ولكن بعد فترة عمل مدتها ست سنوات وبدعم جديد ، يعتقد Howe أنه سيتمكن قريبًا من التغلب على هذه الصعوبات. وقال: "يبدو لي أننا بالفعل قريبون جدًا".Source: https://habr.com/ru/post/undefined/
All Articles